已知:a,b∈R+,a+b=1,求证:ax2+by2≥(ax+by)2.
题目
已知:a,b∈R+,a+b=1,求证:ax2+by2≥(ax+by)2.
答案
证明:∵ax2+by2-(ax+by)2
=(a-a2)x2+(b-b2)y2-2abxy
=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy…(*),
又∵a+b=1,ab∈R+
(*)=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2≥0,
∴ax2+by2≥(ax+by)2.
可结合条件利用作差法ax2+by2-(ax+by)2进行证明即可.
分析法和综合法.
本题考查直接证明的方法,关键在于证题思路的突破--作差法,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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