如图,在三角形ABC中,向量BM=MC,向量AN=2NC ,AM与PN交予点P,向量AP=N乘以AM ,则N的值是多少

题目

如图,在三角形ABC中,向量BM=MC,向量AN=2NC ,AM与PN交予点P,向量AP=N乘以AM ,则N的值是多少

答案

设BM=e1,CN=e2,
则AM=AC+CM=－3e2－e1,BN=2e1＋e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线,
∴存在λ、μ∈R,使得
AP=λAM=－λe1－3λe2,BP=μ BN=2μe1＋μe2.
故BA=BP-AP=(λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.而BA=BC+CA=2e1＋3e2,
由基本定理得 λ＋2μ=2 3λ＋μ=3 λ=4/5 μ=3/5
∴AP∶PM=4∶1.
AP/AM=4/5.即n=4/5.
参考：
过M作MD平行AC,交BN于点D
点M是BC的中点 MD/CN=1/2 AN=2NC
MD/AN=1/4 MP/PA=1/4
向量AP/向量PM=4