费马点被发现的历史背景和费马点的性质

题目

费马点被发现的历史背景和费马点的性质
在特殊的三角形中寻找并验证费马点,例如,当△ABC是等边三角形,等腰三角形或直角三角形是,费马点有哪些性质?

答案

座标为（ ）
（以下为方便起见,将两顶点固定於x轴上）
ㄌ.鸢形（参考图十八）
∵ 为对角线
∴P点在x轴上
又四边形ABCO为鸢形
∴ 平分且
故P点座标为（ ）
ㄍ.任意凸四边形（参考图十九）
设过P点之函数为y=ax+b
将A,B,C,O四点座标代入
求 , 之方程式并解联立方程式
： y=
： y=0
得P点座标为
五、 研究结果
以下配合直角座标及物理实验,依图形形状不同一一分析物理及数学所求的数据,找出其相关性.
（一） 正三角形、直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形和任意锐角三角形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正三角形：（ ）
2. 等腰三角形：（ ）
3. 直角三角形：
4. 等腰直角三角形：（ ）或
5. 任意三角形：
（二） 正方形、长方形、平行四边形、菱形、等腰梯形、两个内角为直角的梯形、任意梯形、鸢形和任意四边形的P点一次函数（参考前述直角座标的图形）：
1. 正方形、长方形、平行四边形、菱形：（ ）
2. 等腰梯形：（ ）
3. 两个内角为直角的梯形：（ ）
4. 任意梯形：（ ）
5. 鸢形：（ ）
6. 任意四边形：
（三） 实验一数据（表一）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 120° 120.5° 118° 120.5° 120°
∠APB 120° 119.5° 122° 121° 124°
∠BPC 120° 119° 119° 120° 117°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2,1.154701)
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 123° 118° 119° 122° 120°
∠APB 119° 120° 119.5° 120° 120°
∠BPC 121° 120° 121° 121° 119°
P点座标 测量值 (1.50,1.08) (1.51,0.92) (1.61,0.89) (1.60,0.98) (1.52,1.02)
计算值 约(1.5,0.866025)
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 119° 118° 122° 121.5° 121°
∠APB 120° 121° 120.5° 121° 120°
∠BPC 120° 121° 119.5° 118° 120°
P点座标 测量值 (0.66,0.84) (0.69,0.65) (0.79,0.55) (0.71,0.58) (0.84,0.56)
计算值 约(0.75117,0.695789)
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121° 120° 119° 118.5° 120°
∠APB 119° 119.5° 121° 119° 119.5°
∠BPC 118° 118° 119.5° 119.5° 118°
P点座标 测量值 (0.58,0.61) (0.72,0.58) (0.62,0.59) (0.50,0.80) (0.66,0.56)
计算值 约(0.633975,0.633975)
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3 4 5
角度 ∠APC 121.5° 119.5° 120° 118.5° 120°
∠APB 119.5° 120° 120.5° 120° 122°
∠BPC 119° 120.5° 120° 119° 120°
P点座标 测量值 (1.96,0.91) (2.00,1.34) (2.06,1.40) (2.05,1.44) (2.03,1.35)
计算值 约(2.257189,1.381958)
结果：测量值和计算值极为接近,即可证明实验所得之P点为费马点,但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差.
（四） 实验二数据（表二）：
正三角形 A(2,2 ) B(4,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (2.12,1.31) (1.92,1.31) (1.96,1.30)
(2.08,1.33) (2.15,1.10) (1.95,1.09)
(1.98,2.06) (1.94,1.13) (1.86,1.13)
(2.31,1.13) (2.15,1.17) (1.98,0.97)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.25cm
32.35cm 31.6cm 32.1cm
32.25cm 31.8cm 32.5cm
32.4cm 31.75cm 32.0cm
等腰三角形 A(1.5, ) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (1.54,0.90) (1.56,0.97) (1.72,0.91)
(1.44,0.69) (1.52,0.80) (1.51,0.92)
(1.50,0.66) (1.61,0.74) (1.64,0.68)
(1.46,0.77) (1.48,0.65) (1.43,0.74)
垂直高度 原来高（hP）为35cm
费马点高（h'）为32.3cm
31.9cm 32.1cm 32.0cm
32.1cm 32.2cm 32.15cm
32.2cm 32.3cm 32.25cm
直角三角形 A(0,4) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (0.84,0.74) (0.86,0.64) (0.74,0.69)
(0.96,0.68) (1.00,0.62) (1.06,0.67)
(0.84,0.68) (0.79,0.85) (0.84,0.80)
(0.78,0.54) (0.73,0.74) (0.86,0.79)
垂直高度 原来高（hP）为35.2cm
费马点高（h'）为32.4cm
32.2cm 32.25cm 32.3cm
32.4cm 32.6cm 32.55cm
32.15cm 32.5cm 32.4cm
等腰直角三角形 A(0,3) B(3,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (0.64,0.61) (0.66,0.53) (0.62,0.66)
(1.12,0.59) (1.06,0.54) (0.95,0.58)
(0.75,0.74) (0.87,0.68) (0.84,0.88)
(0.76,0.66) (0.92,0.57) (0.78,0.82)
垂直高度 原来高（hP）为35.3cm
费马点高（h'）为32.5cm
32.4cm 32.2cm 32.5cm
32.4cm 32.6cm 32.45cm
32.65cm 32.5cm 32.6cm
任意三角形 A(2.2,3.6) B(4.8,0) C(0,0)
次数 1 2 3
P点座标 P (2.20,1.49) (2.42,1.37) (2.11,1.63)
(2.55,1.57) (2.65,1.40) (2.46,1.27)
(2.26,1.43) (2.47,1.41) (2.44,1.29)
(2.55,1.40) (2.49,1.48) (2.46,1.23)
垂直高度 原来高（hP）为35.5cm
费马点高（h'）为31.5cm
31.5cm 31.35cm 31.65cm
31.3cm 31.6cm 31.5cm
31.55cm 31.4cm 31.5cm
结果：本实验所得之P点与费马点计算值之间存有误差,此乃由於实验中会受到摩擦力等因素的影响.
六、 讨论与应用
（一） 有一角大於或等於120°的三角形中,无法利用作正三角形的作图法求出费马点的位置,因为利用其作图法求出来之P点,会落在三角形之外,不符合P点至三顶点之连线所成的三个角皆等於120°度,且根据证明,费马点和大於或等於120°该角之顶点为同一点.故在此有一角大於120°或等於的三角形不予以讨论.
（二） 虽然凹四边形之对角线交点在外部,但其对角线和P点性质与凸四边形相同,且做法和座标也相同,因此省略不重复列出.
（三） 我们从实验二发现了一项费马点在物理学上的性质：「费马点为三角形中能量最低点」.因为在操作实验二时,无论将P点移至何位置,释放后总是会向原P点位置移动,即可证明原P点为三角形能量最小值之位置.
（四） 实验所得之测量值和计算值极为接近,即可证明实验所得之P点为费马点,但於实验中会受到摩擦力等因素的影响造成误差.
（五） 费马点在日常生活中也被广泛应用,只要是存在於三点之间,求一点距离和为最小值的情况,都可运用到费马点的性质.例如在三城市中建立一变电所,要如何架设高压电塔以减少电能的浪费,或是三户人家之间挖掘一口井等,皆是费马点运用的例子.
（六） 未来预期利用其它物理学及化学方法等尝试证明初费马点的性质,方法如下：
1. 尝试运用电学方法证明费马点：
在电学中,电阻的大小与电线导体的长度成正比,如果以费马点到三角形三顶点的距离,分别以此量取三段长度的电阻线,并联后的电阻,是否比非费马点的并联电阻为小,试图找出三线并联后的电阻与费马点的关系.
(1) 取一导线和一电阻线串联,再将上述之装置三条并联交於同一电源装置.
(2) 以上述装置的导线与电阻线之交点为三角形的顶点,用木条组装成正三角形.
(3) 将三条电阻线之末端交於三角形内之P点,再与一安培计串联回到电源装置形成通路.
(4) 开启电源,移动P点的位置,找出P点位於何处时电流值最大后将将实验装置垂直置於一座标平面之上方,纪录P点座标,再和（三）求出之P点一次函数,以电脑程式计算（详细程式参考附件二）是否符合.
(5) 改变三角形的形状并重复操作.
2. 尝试从理论化学观点探讨费马点的性质：
在理论化学的发展上,已经可以以电脑程式模拟小型化学分子的结构状态,并据以求得最稳定存在（能量最小）的分子排列,对一些三角形分子而言（如环乙烯、环乙醚,环乙胺,这些分子和外界原子的排列,在自然状态下,势必要保持最小能量的稳定态,而这些原子间的相关位置,是否和三角形分子构形中的费马点有关,我想藉由一些较简单的化学分子计算软体（MM2,MOPAC）,试著找出其中的奥秘.
七、 结论
有关费马点的证明相当多,此次除了找到其数学上一些相关的结果,也利用实验及直角座标探讨费马点在物理上的意义,再一次充分验证了『数学』真为『科学之母』!
（一） 费马点在数学上有「三夹角皆为120°」及「到三顶点之和为最小值」两种性质,除此之外,在物理学上也有「费马点为三角形中能量最低点」的性质.
（二） 顶角小於120°的等腰三角形,费马点必在底边之高上,且底边长度相同时,费马点为同一点.而四边形之「费马点」即为对角线之交点.
（三） 根据理论推出,费马点至三顶点连成之线段所夹的三个角皆为120°,恰和三力平衡时三力夹角皆为120°的特性相同,因此可用物理学上三力平衡的实验找出费马点之位置.
八、 参考资料及其它
（一） 参考书目
1. 酒井高男著,（1992）力学的趣味实验,亚东书局出版
2. 张景中（1990）,数学家的眼光,九章出版
3. 张奠宙、戴再平（1996）,生活中的中学数学,九章出版
4. 黄家礼（1997）,几何明珠,九章出版
5. 佚名
希望这些对你有帮助!