已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数.证明:(1)b与c两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数. 证明:(1)b与c两数必为一奇一偶;(2)2(a+b+1)是完全平方数. |
答案
证明:(1)∵a2+b2=c2, ∴a2=c2-b2=(c+b)(c-b), 因为a是质数,而(c+b)和(c-b)不可能都等于a,所以c-b=1,c+b=a2,得到c=b+1, 则b,c是两个连续的正整数, ∴b与c两数必为一奇一偶;
(2)将c=b+1代入原式得: a2+b2=(b+1)2=b2+2b+1 得到a2=2b+1 则a2+2a+1=2b+1+2a+1=2(a+b+1) 左边等于(a+1)2是一个完全平方数, 所以右边2(a+b+1)是一个完全平方数,得证. |
举一反三
若n是奇自然数,a1,a2,…,an是n个互不相同的负整数,则( )A.(a1+1)(a2+2)…(an+n)是正整数 | B.(a1-1)(a2-2)…(an-n)是正整数 | C.(+1)(+2)…(+n)是正数 | D.(1-)(2-)…(n-)是正数 |
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下列命题中正确的是( )A.1是最小的正有理数 | B.-1是最大的负有理数 | C.0是最小的正整数 | D.0是最大的非正整数 |
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设a是最小的自然数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a-b+c=( ) |
设自然数中两两不等的三个合数之和的最小值是m,则m的负倒数等于______. |
已知三角形的三个内角的和是180°,如果一个三角形的三个内角的度数都是小于120的质数,则这个三角形三个内角的度数分别是______. |
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