求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字.
题型:解答题难度:一般来源:不详
求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字. |
答案
原式=A=1×3×5×…×1999, 则A=(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×125×127×129)?…(1993×1995×1997×1999), 则A=125×[(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×127×129)?…(1993×1995×1997×1999)], 下面证明两个引理: 引理1:125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一 证明:设k为奇数,则k除以8余数只有1,3,5,7. 则k=8m+i,其中i=1,3,5,7, 那么 k×125=k×(8m+i)=1000×m+125×i, 即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一 引理2:四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 证明:设B=(2n+1)(2n+3)(2n+5)(2n+7) =(4n2+8n+3)(4n2+24n+35) 当n=2m时,B≡1 mod(8) 当n=2m+1时,B≡1 mod(8) 综上,四个连续奇数的乘积除以8的余数是1 ∴[(1×3×5×7)?(9×11×13×15)?(17×19×21×23)?…?(123×127×129)?…(1993×1995×1997×1999)] ≡1?1?…?(123×127×129)?…1mod(8), ≡5 mod(8), ∴A=125×(8k+5)=1000k+625,其中k为正整数. 综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625. |
举一反三
若四位数是一个完全平方数,则这个四位数是______. |
已知△ABC的三条高的比是3:4:5,且三条边的长均为整数,则△ABC的一边长可能是( ) |
全班51人参加100米跑测验,最多6人一组,则至少要分成______组. |
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