证明：13≤11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)＜12（n为正整数）．

题型：解答题难度：一般来源：不详

证明：

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n为正整数）．

答案

证明：

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

•

2n

2n+1

=

n

2n+1

，
∵

1

2×1+1

≤

n

2n+1

＜

n

2n

，（n为正整数，n=1时

n

2n+1

最小），
∴

1

3

≤

n

2n+1

＜

1

2

，
∴

1

3

≤

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

＜

1

2

（n为正整数）．