如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°、动点P、Q同时从点A出发，其中点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→

题型：解答题难度：困难来源：福建省模拟题

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°、动点P、Q同时从点A出发，其中点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动，当P、Q到达终点时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒。
（1）直接填空：AP=________cm，AQ=_________cm（用含t的代数式表示，其中0＜t＜5）；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N。
①当t为何值时，PM+MN的值最小？
②当t为何值时，△PQM的面积S有最大值，此时最大值是多少？

答案

解：（1）4t；；（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小，
如图，在中，易知，又，
由得：，
解得，
∴当时，PM+MN的值最小；
②如图1，若时，则，，
则，
又∵，AB=20，
∴，
∴，
又，
∴△APQ∽△ABO，
∴，即
，
当时，S有最大值；
②若时，则，，，
则，
又∵，，
∴，
又，
∴△QCP∽△OCB，
∴，即，

当时，S有最大值，
综上，当或时，S最大值都是。