通常,我们把长方形和正方形统称为矩形.如图1,是一个长为2a,宽为2b的矩形ABCD,若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形,然后按照图2的形状拼成一个
题型:解答题难度:一般来源:不详
通常,我们把长方形和正方形统称为矩形.如图1,是一个长为2a,宽为2b的矩形ABCD,若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形,然后按照图2的形状拼成一个正方形MNPQ. (1)分别从整体和局部的角度出发,计算图2中阴影部分的面积,可以得到等式 _________ . (2)仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ,可以发现它们的 _________ 相同, _________ 不同.(选填“周长”或“面积”) (3)根据上述发现,猜想结论:用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场,可以有许多不同的围法.在你围的所有矩形中,面积最大的矩形的面积是 _________ 米2. |
答案
(1)(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;(2)周长,面积;(3)81. |
解析
试题分析:(1)整体上求出内部的小正方形的边长,然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分的面积,从局部考虑,求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积; (2)从图2的面积比图1的面积大里面小正方形的面积考虑; (3)根据(2)的结论,周长相等的情况下,正方形的面积比矩形的面积大,所以围成的正方形的面积最大,然后根据正方形进行计算即可. 解:(1)整体考虑:里面小正方形的边长为a﹣b, ∴阴影部分的面积=(a+b)2﹣(a﹣b)2, 局部考虑:阴影部分的面积=4ab, ∴(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab; (2)图1周长为:2(2a+2b)=4a+4b, 面积为:4ab, 图2周长为:4(a+b)=4a+4b, 面积为(a+b)2=4ab+(a﹣b)2≥4ab, 当且仅当a=b时取等号; ∴周长相同,面积不相同; (3)根据(2)的结论,围成正方形时面积最大, 此时,边长为36÷4=9米, 面积=92=81米2. 故答案为:(1)(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;(2)周长,面积;(3)81. 点评:本题考查了完全平方公式的几何背景,结合图形的特点,根据面积找出里面的规律是解题的关键. |
举一反三
观察如图图形由左到右的变化,计算阴影部分的面积,并用面积的不同表达形式写出相应的代数恒等式. |
如图1,是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形.
(1)图2中阴影部分的面积为 (m﹣n)2 ; (2)观察图2,请你写出三个代数式(m+n)2、(m﹣n)2、mn之间的等量关系式: (m﹣n)2+4mn=(m+n)2 ; (3)根据(2)中的结论,若x+y=﹣6,xy=2.75,则x﹣y= ±5 . (4)有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图3,它表示了(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2. |
如果a2﹣2(k﹣1)ab+9b2是一个完全平方式,那么k= _________ . |
当a=﹣3,b=1,时,分别求代数式(a﹣b)2与a2﹣2ab+b2的值,并比较计算结果;你有什么发现?利用你发现的结果计算:20122﹣2×2012×2011+20112. |
多项式x2+1加上一个整式后是含x的二项式的完全平方式. 例题:x2+1+ _________ =(x+1)2. (1)按上例再写出两个加上一个单项式后是含x的二项式的完全平方式的式子(不能用已知的例题): ①x2+1+ _________ =(x﹣1)2; ②x2+1+ _________ =(x2+1)2. (2)按上例写出一个加上一个多项式后是一个含x的二项式的完全平方式 x2+1+ _________ =(x2+1)2. |
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