x,y为正整数,且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数,求证:这两个分数都是整数.
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x,y为正整数,且两个分数之和x2-1y+1+y2-1x+1也是整数,求证:这两个分数都是整数.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
x,y为正整数,且两个分数之和
x
2
-1
y+1
+
y
2
-1
x+1
也是整数,求证:这两个分数都是整数.
答案
证明:两个数的和为自然数,则这两个数要么都是分数,要么都是整数(在此题中为自然数);
对于
x
2
-1
y+1
与
y
2
-1
x+1
的积有:
x
2
-1
y+1
×
y
2
-1
x+1
=(x-1)×(y-1),
由于x与y是自然数,那么 (x-1)×(y-1)也是自然数,
对于两个分数的乘积,可写成:(a+
1
m
)×(b+
1
n
)=ab+
a
n
+
b
m
+
1
mn
,其中a、b、m、n均为整数,
由于
1
mn
的存在,所以若两个数相乘得到的结果是整数,那么它们中至少有一个是整数,
对于本题而言,由于
x
2
-1
y+1
×
y
2
-1
x+1
=(x-1)×(y-1)为整数,
因此他们中至少有一个是整数,
又∵在(i)中知
x
2
-1
y+1
与
y
2
-1
x+1
要么同为整数,要么同为分数,
因此可得出结论:
x
2
-1
y+1
与
y
2
-1
x+1
都是整数.
举一反三
甲、乙、丙三人分糖块,分法如下:先在三张纸片上各写三个正整数p,q,r,使p<q<r,分糖时,每人抽一张纸片,然后把纸片上的数减去p,就是他这一轮分得的糖块数.经过若干轮这种分法后,甲总共得到20块糖,乙得到10块糖,丙得到9块糖,又知最后一次乙拿到的纸片上写的是r,而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18,则 p=______,q=______,r=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知对任意正整数n都有a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=n
3
,则
1
a
2
-1
+
1
a
3
-1
+
1
a
4
-1
+…+
1
a
2011
-1
=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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将3x
3
-10x
2
+13表示成a(x-2)
3
+b(x-2)
2
+c(x-2)+d的形式,那么a=______,b=______,c=______,d=______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
设a是整数,|x|=8-3a,|y|=12+4a-a
2
,求|x|+|y|的最大值,并求出相应的a.
题型:解答题
难度:一般
|
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证明:(x+y+z)
3
xyz-(yz+zx+xy)
3
=xyz(x
3
+y
3
+z
3
)-(y
3
z
3
+z
3
x
3
+x
3
y
3
).
题型:解答题
难度:一般
|
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