阅读下列材料，然后回答所提出的问题．（1）11×3=12(1-13)，13×5=12(13-15).15×7=12(15-17)，于是11×3+13×5+15×

题型：解答题难度：一般来源：不详

阅读下列材料，然后回答所提出的问题．
（1）

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

).

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，
于是

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

)
=

1

2

(1-

1

7

)=

3

7

；
（2）上面求的方法是通过逆用分数减法法则，将和式中各分数转化为两个分数之差，使得除首末两项外的中间各项可以互相抵消，从而达到求和的目的．
通过阅读，你学会一种解决问题的方法了吗？试用学到的方法计算：
①

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

；
②

1

a(a+1)

+

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+…

1

(a+2006)(a+2007)

．

答案

（1）原式=

1

3

(

1

x

-

1

x+3

)+

1

2

(

1

x+3

-

1

x+6

)+

1

3

（

1

x+6

-

1

x+9

）
=(

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

)
=

1

3

•

x+9-x

x(x+9)

=

3

x(x+9)

；

（2）原式=(

1

a

-

1

a+1

)+

1

2

(

1

a+1

-

1

a+2

)+(

1

a+2

-

1

a+3

)+…+(

1

a+2006

-

1

a+2007

)
=(

1

a

-

1

a+1

+

1

a+1

-

1

a+2

+

1

a+2

-

1

a+3

+…+

1

a+2006

-

1

a+2007

)
=

a+2007-a

a(a+2007)

=

2007

a(a+2007)

．