（1）观察下列各式：12=11×2=11-12，16=12×3=12-13，112=13×4=13-14，120=14×5=14-15，…由此可以推测：156=

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，…
由此可以推测：

1

56

=______，

1

72

=______．
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律：______；
（3）请用（2）中的规律计算：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

．

答案

（1）

1

56

=

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

72

=

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；
（2）用含字母n（n为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（3）由（2）中的规律化简得：

1

(a+1)(a+2)

+

1

(a+2)(a+3)

+

1

(a+3)(a+4)

=

1

a+1

-

1

a+2

+

1

a+2

-

1

a+3

+

1

a+3

-

1

a+4

=

1

a+1

-

1

a+4

=

3

(a+1)(a+4)

．
故答案为：（1）

1

7×8

=

1

7

-

1

8

；

1

8×9

=

1

8

-

1

9

；（2）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．