△ABC中，三边长a、b、c满足c=a+b-9+9-a-b+53，且关于x的方程(53+b)x2+2ax+(53-b)=0有两个相等的实数根．（1）试判断△AB

题型：解答题难度：一般来源：不详

△ABC中，三边长a、b、c满足c=

a+b-9

+

9-a-b

+5

3

，且关于x的方程(5

3

+b)x2+2ax+(5

3

-b)=0有两个相等的实数根．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．

答案

（1）根据题意得

a+b-9≥0 9-a-b≥0

，
∴a+b=9，
∴c=0+0+5

3

=5

3

，
∵△=4a²-4（5

3

+b）（5

3

-b）=0，
∴a²+b²=（5

3

）²，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形；
（2）∵△ABC是以c为斜边的直角三角形，
∴S_△ABC=

1

2

ab，
∵a+b=9，
∴a²+2ab+b²=81，
∴75+2ab=81，
∴ab=3，
∴S_△ABC=

3

2

．