阅读并①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,则有x1+x2=2,x1x2=1.②方程2x2-x-2=0的根是x1=1+174,x2=1-174,则有x1
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阅读并①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,则有x1+x2=2,x1x2=1.②方程2x2-x-2=0的根是x1=1+174,x2=1-174,则有x1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
阅读并
①方程x
2
-2x+1=0的根是x
1
=x
2
=1,则有x
1
+x
2
=2,x
1
x
2
=1.
②方程2x
2
-x-2=0的根是x
1
=
1+
17
4
,x
2
=
1-
17
4
,则有x
1
+x
2
=
1
2
,x
1
x
2
=-1.
③方程3x
2
+4x-7=0的根是x
1
=-
7
3
,x
2
=1,则有x
1
+x
2
=-
4
3
,x
1
x
2
=-
7
3
.
(1)根据以上①②③请你猜想:如果关于x的一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x
1
,x
2
,那么x
1
,x
2
与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;
(2)利用你的猜想结论,解决下面的问题:
已知关于x的方程x
2
+(2k+1)x+k
2
-2=0有实数根x
1
,x
2
,且x
1
2
+x
2
2
=11,求k的值.
答案
(1)猜想为:设ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根为x
1
、x
2
,则有
x
1
+
x
2
=-
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
.
理由:设x
1
、x
2
是一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根,
那么由求根公式可知,
x
1
=
-b+
b
2
-4ac
2a
,
x
2
=
-b-
b
2
-4ac
2a
.
于是有
x
1
+
x
2
=
-2b
2a
=-
b
a
,
x
1
•
x
2
=
b
2
-(
b
2
-4ac)
4
a
2
=
c
a
,
综上得,设ax
2
+bx+c=0(a≠0)的两根为x
1
、x
2
,则有
x
1
+
x
2
=-
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
.
(2)x
1
、x
2
是方程x
2
+(2k+1)x+k
2
-2=0的两个实数根
∴x
1
+x
2
=-(2k+1),x
1
x
2
=k
2
-2,
又∵x
1
2
+x
2
2
=x
1
2
+x
2
2
+2x
1
x
2
-2x
1
x
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
∴[-(2k+1)]
2
-2×(k
2
-2)=11
整理得k
2
+2k-3=0,
解得k=1或-3,
又∵△=[-(2k+1)]
2
-4(k
2
-2 )≥0,解得k≥-
9
4
,
∴k=1.
举一反三
方程(2x+1)(x-5)=0的解是______.
题型:不详
难度:
|
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已知方程4x
2
-mx+6=0的一个根为2,则另一个根为______,m的值为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知α,β是方程x
2
+2006x+1=0的两个根,则(1+2008α+α
2
)(1+2008β+β
2
)的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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已知x
1
,x
2
是方程x
2
-2x+a=0的两个实数根.
(1)若a
2
=2x
1
+2x
2
,求a的值;(2)若x
1
+2x
2
=3-
2
,求a的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知关于x的一元二次方程(k+4)x
2
+3x+k
2
+3k-4=0的一个根为0,求k的值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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