设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1•x2=ca；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12

题型：不详难度：来源：

设x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

；
（2）求代数式a（x₁³+x₂³）+b（x₁²+x₂²）+c（x₁+x₂）的值．

答案

（1）∵x₁、x₂是ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=

-b+ b2-4ac -b- b2-4ac

2a

=-

b

a

，
x₁•x₂=

-b+ b2-4ac

2a

•

-b- b2-4ac

2a

=

c

a

；

（2）∵x₁，x₂是ax²+bx+c=0的两根，
∴ax₁²+bx₁+c=0，ax₂²+bx₂+c=0，
∴原式=ax₁³+bx₁²+cx₁+ax₂³+bx₂²+cx₂，
=x₁（ax₁²+bx₁+c）+x₂（ax₂²+bx₂+c），
=0．