如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋

题型：浙江省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F
由已知得BF=OE=2，OF=
∴点B的坐标是（，2）
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则有
解得
∴直线AB的解析式是y=x+4。
（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到，
∴△ABD≌△AOP，
∴AP=AD，∠DAB=∠PAO，
∴∠DAP=∠BAO=60°，
∴△ADP是等边三角形，
∴DP=AP=
如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH
在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60°
∴BG=BD·cos60°=
DG=BD·sin60°=
∴OH=EG=，DH=
∴点D的坐标为（，）。（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于
设点P为（t，0），下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，（ 舍去）
∴点P₁的坐标为 （，0 ）。②当＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=-t，
∴DH=GF=2-（-t）=2+t
∵△OPD的面积等于，
∴，
解得，
∴点P₂的坐标为（，0），点P₃的坐标为（，0）。③当t≤时，如图，BD=OP=-t，DG=-t，
∴DH=-t-2
∵△OPD的面积等于，
∴ ，
解得（舍去），，
∴点P₄的坐标为（，0）
综上所述，点P的坐标分别为P₁（，0）、P₂（，0）、P₃（，0）、P₄（，0）。