关于x的方程x2-(2a-1)x+(a-3)=0.(1)求证:无论a为任何实数,该方程总有两个不等实数根;(2)以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,已知该

关于x的方程x2-(2a-1)x+(a-3)=0.(1)求证:无论a为任何实数,该方程总有两个不等实数根;(2)以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,已知该

题型:解答题难度:一般来源:不详
关于x的方程x2-(2a-1)x+(a-3)=0.
(1)求证:无论a为任何实数,该方程总有两个不等实数根;
(2)以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长,已知该三角形斜边上的中线长为


35
2
,求实数a的值.
答案
(1)证明:∵△=(2a-1)2-4(a-3)=4a2-4a+1-4a+12=4a2-8a+4+9=4(a-1)2+9>0,
∴无论a为任意实数,方程总有两不等实数根.

(2)由题意得:x12+x22=35,即(x1+x22-2x1x2=35
∵x1+x2=2a-1,x1x2=a-3,
∴(2a-1)2-2(a-3)=35,
解得a=-2或
7
2

由于方程的两根是三角形的边长,则两根之和2a-1>0且a-3>0
则a>3
∴a=
7
2

答:实数a的值是
7
2
举一反三
设x1,x2是方程x2-4x-2=0的两个实数根,则x1+x2=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设x1、x2是一元二次方程3x2+2x=0的两根,则x1-x2=______.
题型:不详难度:| 查看答案
在等腰三角形ABC中,三边长分别为a,b,c,且a=3,b,c是关于x的方程x2+mx+2-
1
2
m=0的两个根,则三角形ABC的周长等于______.
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已知关于x的方程x2+(k2-4)x+k-1=0的两实数根互为相反数,则k=______.
题型:不详难度:| 查看答案
x1、x2是一元二次方程x2-4x+k+1=0的两个根
(1)当k=0时,求5(x1+x2)-


x1x2
的值
(2)是否存在整数k满足x1x2>x1+x2-2,若有请求出k的值,若没有请说明理由.
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