已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率为k(k≠0)的直

已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率为k(k≠0)的直

题型:不详难度:来源:
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),且其右焦点到直线x-y+2


2
=0的距离为3.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率为k(k≠0)的直线l,使l与已知椭圆交于不同的两点M,N,且AN=AM?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(1)因为椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),
由题意,可设椭圆的方程
x2
a 2
+y 2=1 (a>1)
,则其右焦点F(


a 2-1
,0)
所F到直线x-y+2


2
=0的距离d=3,解得a2=3
所以椭圆的方程
x2
3
+y 2=1
(4分)
(2)设存在直线l,
设其方程为:y=kx+b,





y=kx+b
x2
3
+y 2=1
消去y得:(3k2+1)x2+6bkx+3b2-3=0①,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
△=64b2k2-4(1+3k2)(3b2-3)>0,1+3k2-b2>0②,
x1+x2=-
6bk
1+3k2

y1+y2=
2b
1+3k2

MN的中点P的坐标(-
3bk
1+3k2
b
1+3k2
)

因AN=AM,所AP是线MN的垂直平分线,∴AP⊥MN,
根据斜率之积为-1,可得:
b=
3k 2+1
2
,将其代入②并整理(3k2+1)(k2-1)<0
∴-1<k<1故存在满足条件的直l,其斜率的取值范围-1<k<1,k≠0.(12分)
举一反三
直线x=t,y=x将椭圆面分成若干块,现用5种颜色给这若干块涂色,每块只涂一种颜色,任意两块不同色,共有120不同涂法,则t的取值范围是(   )
题型:虹口区二模难度:| 查看答案
A.B.
C.D.
以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆,恰好过正方形四边的中点,则该椭圆的离心率为(  )
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A.B.C.D.
如图,AB是过椭圆左焦点的一弦,C是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠BAC=90°,求椭圆方程.魔方格
如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A1,A2,B1是椭圆C的顶点,若椭圆C的离心率e=


3
2
,且过点(


2


2
2
)

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)作直线l,使得lA2B1,且与椭圆C相交于P、Q两点(异于椭圆C的顶点),设直线A1P和直线B1Q的倾斜角分别是α,β,求证:α+β=π.魔方格
若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为
______.