已知x1、x2是方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使x1x2+x2x1=32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

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已知x1、x2是方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使x1x2+x2x1=32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

题型：不详难度：来源：
已知x1、x2是方程x2-2kx+k2-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使
x1
x2
+
x2
x1
=
3
2
成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案
∵a=1，b=-2k，c=k2-k
而△=b2-4ac=（-2k）2-4（k2-k）=4k
∴当k≥0时，方程有实数根；
∵x1+x2=2k，x1x2=k2-k，
而
x1
x2
+
x2
x1
=
(x1+x2)2-2x1x2
x1x2

=
4k2-2(k2-k)
k2-k

=
3
2
，
整理，解得：k1=0，k2=-7（舍去），
当k=0时，x1=x2=0，
x1
x2
，
x2
x1
无意义；
故不存在常数k，使
x1
x2
+
x2
x1
=
3
2
成立．
举一反三
如果一元二次方程x2-2x-3=0的两根为x1、x2，则x12x2+x1x22的值等于（　　）
A．-6B．6C．-5D．5
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若x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则x1+x2的值等于______．
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下列关于一元二次方程的四种说法，你认为正确的是（　　）
A．方程2y2-y+
1
2
=0必有实数根
B．方程x2+x+1=0的两个实数根之积为-1
C．以-1、2两数为根的一元二次方程可记为：x2+x-2=0
D．一元二次方程2x2+4x+3m=0的两实数根的平方和为7，则m=-1
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如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么由求根公式可知，x1=
-b+


b2-4ac
2a
，x2=
-b-


b2-4ac
2a
．
于是有x1+x2=
-2b
2a
=-
b
a
，x1-x2=
b2-(b2-4ac)
4a2
=
c
a

综上得，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则有x1+x2=-
b
a
，x1x2=
c
a

这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值．解法可以这样：∵x1+x2=-6，x1x2=-3，则
x21
+
x22
=(x1+x^)2-2x1x2=（-6）2-2×（-3）=42．
请你根据以上材料解答下列题：
（1）若x2+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）已知x1，x2是方程x2-4x+2=0的两根，求（x1-x2）2的值．
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先阅读下面材料，然后解答问题：
王老师在黑板上出了这样一道习题：设方程2x2-5x+k=0的两个实数根是x1，x2，请你选取一个适当的k值，求
x2
x1
+
x1
x2
的值．
小明同学取k=4，则方程是2x2-5x+4=0．
由根与系数的关系，得x1+x2=
5
2
，x1x2=2．
∴
x2
x1
+
x1
x2
=
x22+x12
x1x2
=
(x1+x2)2-2x1x2
x1x2
=
25
4
-2×2
2
=
9
8

即
x2
x1
+
x1
x2
=
9
8
．
问题（1）：请你对小明解答的正误作出判断，并说明理由．
问题（2）：请你另取一个适当的正整数k，其它条件不变，不解方程，改求|x1-x2|的值．
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