（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≠0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=-p，x1·x2=q。（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交

题型：解答题难度：一般来源：广东省中考真题

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²﹣4q≠0）的两根为x₁、x₂；
求证：x₁+x₂=-p，x₁·x₂=q。
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1，-1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值。

答案

证明：（1）∵a=1，b=p，c=q
∴△=p²﹣4q
∴x=
即x₁=，x₂=
∴x₁+x₂=+=﹣p，
x₁·x₂==q
（2）把代入（-1，-1）得p-q=2，q=p-2
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）
∵d=|x₁-x₂|，
∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4
当p=2时，d ²的最小值是4．