如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC
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如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC
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如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的
延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
答案
(1)证明见解析(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP,理由见解析(3)y=
x﹣1
解析
解:(1)证明:∵∠AOG=∠ADG=90°,
∴在Rt△AOG和Rt△ADG中,AO=AD,AG=AG,
∴△AOG≌△ADG(HL)。
(2)∠PAG =45°,PG=OG+BP。理由如下:
由(1)同理可证△ADP≌△ABP,则∠DAP=∠BAP。
∵由(1)△AOG≌△ADG,∴∠1=∠DAG。
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,
∴2∠DAG+2∠DAP=90°,即∠DAG+∠DAP=45°。∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°。
∵△AOG≌△ADG,△ADP≌△ABP,∴DG=OG,DP=BP。
∴PG=DG+DP=OG+BP。
(3)∵△AOG≌△ADG,∴∠AGO=∠AGD。
又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC。
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°。∴∠1=∠2=30°。
在Rt△AOG中,AO=3,OG=AOtan30°=
,
∴G点坐标为:(
,0),CG=3﹣
。
在Rt△PCG中,PC=
,∴P点坐标为:(3,
)。
设直线PE的解析式为y=kx+b,
则
,解得
。
∴直线PE的解析式为y=
x﹣1。
(1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证△AOG≌△ADG。
(2)利用(1)的方法,同理可证△ADP≌△ABP,得出∠1=∠DAG,∠DAP=∠BAP,而∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,由此可求∠PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。
(3)由△AOG≌△ADG可知,∠AGO=∠AGD,而∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,当∠1=∠2时,可证∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,得出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°,即∠1=∠2=30°,解直角三角形求OG,PC,确定P、G两点坐标,得出直线PE的解析式。
举一反三
.某私营服装厂根据2011年市场分析,决定2012年调整服装制作方案,准备每周(按120工时计算)制作西服、休闲服、衬衣共360件,且衬衣至少60件。已知每件服装的收入和所需工时如下表:
服装名称
西服
休闲服
衬衣
工时/件
收入(百元)/件
3
2
1
设每周制作西服x件,休闲服y件,衬衣z件。
(1)请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z,
(2)求y与x之间的函数关系式。
(3)问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时,才能使总收入最高?最高总收入是多少?
题型:不详
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如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,﹣2),则kb=
.
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一次函数y=x+2的图象不经过第
象限.
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一次函数y=-x+2的图象经过【 】
A.一、二、三象限
B.一、二、四象限
C.一、三、四象限
D.二、三、四象限
题型:不详
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已知,如图,在平面直角坐标系内,点A的坐标为(0,24 ),经过原点的直线l
1
与经过点A的直线l
2
相交于点B,点B坐标为(18,6).
(1)求直线l
1
,l
2
的表达式;
(2)点C为线段OB上一动点 (点C不与点O,B重合),作CD∥y轴交直线l
2
于点D,过点C,D分别向y轴作垂线,垂足分别为F,E,得到矩形CDEF.
①设点C的纵坐标为a,求点D的坐标(用含a的代数式表示);
②若矩形CDEF的面积为60,请直接写出此时点C的坐标.
题型:不详
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