在Rt△ABO中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.（Ⅰ

题型：不详难度：来源：

在Rt△ABO中，∠ABO=30°，BO=4，分别以OA、OB边所在的直线建立平面直角坐标系，D为x轴正半轴上一点，以OD为一边在第一象限内作等边△ODE.
（Ⅰ）如图①， 当E点恰好落在线段AB上，求点E的坐标；
    
（Ⅱ）在（Ⅰ）问的条件下，将△ODE在线段OB上向右平移（如图②），图中是否存在一条与线段始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由.
（Ⅲ）若点D从原点出发沿x轴的正方向移动，设点D到原点的距离为x，△ODE与△AOB重叠部分面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

答案

(Ⅰ) E（1，）.      
(Ⅱ) 将△ODE在线段OB上向右平移时，始终有线段EF=.  
由(Ⅰ)知=2，得+ BD=2，
∵∠=60°=2∠B=∠B+∠BFD，∴∠BFD=∠B，∴DF = BD.
又∵DF+ EF=2，∴EF=.  
(Ⅲ)①如图a，当0≤x≤2时，y==
②如图b，当2＜x＜4时，y=－=+2－2.
③如图c，当x≥4时，y==2.  
 

解析

（1）由题意作辅助线，作EH⊥OB于点H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，从而得出点E的坐标；
（2）假设存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，从而得到OO′=EF；
（3）根据题意分三种情况写出解析式即可．