如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F
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如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F
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如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数
的图象与边BC交于点F.
(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S
1
、S
2
.且S
1
+S
2
=2,求k的值;
(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
答案
(1)2 (2)当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.
解析
试题分析:(1)设E(x
1
,
),F(x
2
,
),x
1
>0,x
2
>0,根据三角形的面积公式得到S
1
=S
2
=
k,利用S
1
+S
2
=2即可求出k;
(2)设
,
,利用S
四边形OAEF
=S
矩形OABC
﹣S
△
BEF
﹣S
△
OCF
=﹣
+5,根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时,四边形OAEF的面积有最大值,S
四边形OAEF
=5,此时AE=2.
解:(1)∵点E、F在函数y=
(x>0)的图象上,
∴设E(x
1
,
),F(x
2
,
),x
1
>0,x
2
>0,
∴S
1
=
,S
2
=
,
∵S
1
+S
2
=2,
∴
=2,
∴k=2;
(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,
设
,
,
∴BE=4﹣
,BF=2﹣
,
∴S
△
BEF
=
﹣k+4,
∵S
△
OCF
=
,S
矩形OABC
=2×4=8,
∴S
四边形OAEF
=S
矩形OABC
﹣S
△
BEF
﹣S
△
OCF
=
+4,
=﹣
+5,
∴当k=4时,S
四边形OAEF
=5,
∴AE=2.
当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.
点评:本题考查了反比例函数
k的几何含义和点在双曲线上,点的横纵坐标满足反比例的解析式.也考查了二次的顶点式及其最值问题.
举一反三
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2.若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合,使点A或点B刚好在反比例函数
(x>0)的图象上时,设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S
1
、S
2
(如图1、图2所示)D是斜边与y轴的交点,通过计算比较S
1
、S
2
的大小.
题型:不详
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如图,直线y=﹣x+b与双曲线
交于点A、B,则不等式组
的解集为( )
A.﹣1<x<0 B. x<﹣1或x>2 C.﹣1<x≤1 D.﹣1<x<1
题型:不详
难度:
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)直线y=﹣
x﹣1与反比例函数
(x<0)的图象交于点A,与x轴相交于点B,过点B作x轴垂线交双曲线于点C,若AB=AC,则k的值为( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6
D.﹣8
题型:不详
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|
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已知正比例函数y=kx与反比例函数y=
相交于点A(1,b)、点B(c,﹣2),求k+a的值.甲同学说:未知数太多,很难求的;乙同学说:可能不是用待定系数法来求;丙说:如果用数形结合的方法,利用两交点在坐标系中位置的特殊性,可以试试.请结合他们的讨论求出k+a=
.
题型:不详
难度:
|
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若直线y=kx(k>0)与双曲线
的图象交于A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)两点,则2x
1
y
2
+3x
2
y
1
=
.
题型:不详
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