如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C(1,)处,两直角边分别与x,y轴平行,纸板的另两个顶点A,B恰好是直线y=kx+与双曲线y=(m>0)的交点.(1)

如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C(1,)处,两直角边分别与x,y轴平行,纸板的另两个顶点A,B恰好是直线y=kx+与双曲线y=(m>0)的交点.(1)

题型:不详难度:来源:
如图,将一块直角三角形纸板的直角顶点放在C(1,)处,两直角边分别与x,y轴平行,纸板的另两个顶点A,B恰好是直线y=kx+与双曲线y=(m>0)的交点.

(1)求m和k的值;
(2)设双曲线y=(m>0)在A,B之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动,两直角边始终与坐标轴平行,且与线段AB交于M,N两点,请探究是否存在点P使得MN=AB,写出你的探究过程和结论.
答案
(1)k=﹣且m=4 (2)不存在,理由见解析
解析

试题分析:(1)由题意易知点A横坐标为1,代入Y=,可用含m的代数式表示它的纵坐标;同理可表示点B坐标,再代入方程组即可求m和k的值;
(2)用反证法证明.假设存在,运用一元二次方程判别式即可解出.
解:(1)∵A,B在双曲线y=(m>0)上,AC∥y轴,BC∥x轴,
∴A,B的坐标分别(1,m),(2m,).(1分)
又点A,B在直线y=kx+上,
(2分)
解得(4分)
当k=﹣4且m=时,点A,B的坐标都是(1,,不合题意,应舍去;
当k=﹣且m=4时,点A,B的坐标分别为(1,4),(8,,符合题意.
∴k=﹣
且m=4.(5分)
(2)假设存在点P使得MN=AB.
∵AC∥y轴,MP∥y轴,
∴AC∥MP,
∴∠PMN=∠CAB,
∴Rt△ACB∽Rt△MPN,
,(7分)
设点P坐标为P(x,)(1<x<8),
∴M点坐标为M(x,﹣x+),
∴MP=﹣
又∵AC=4﹣
,即2x2﹣11x+16=0(※)(9分)
∵△=(﹣11)2﹣4×2×16=﹣7<0.
∴方程(※)无实数根.
∴不存在点P使得MN=AB.(10分)
点评:此题难度中等,考查反比例函数的性质及坐标意义.解答此题时同学们要注意运用数形结合的思想.
举一反三
如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…Pn(xn,yn)在函数y=(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…An﹣1An都在x轴上
(1)求P1的坐标;
(2)求y1+y2+y3+…y10的值.
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如图,奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后,沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递.动点T(m,n)表示火炬位置,火炬从离北京路10米处的M点开始传递,到离北京路1000米的N点时传递活动结束.迎圣火临时指挥部设在坐标原点O(北京路与奥运路的十字路口),OATB为少先队员鲜花方阵,方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米(路线宽度均不计).

(1)求图中反比例函数的关系式(不需写出自变量的取值范围);
(2)当鲜花方阵的周长为500米时,确定此时火炬的位置(用坐标表示);
(3)设t=m﹣n,用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离;当火炬离指挥部最近时,确定此时火炬的位置(用坐标表示).
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已知反比例函数的图象,当x取1,2,3,…,n时,对应在反比例图象上的点分别为M1,M2,M3…,Mn,则=  
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如图,将一矩形OABC放在直角坐标系中,O为坐标原点.点A在y轴正半轴上.点E是边AB上的一个动点(不与点A、B重合),过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.

(1)若△OAE、△OCF的面积分别为S1、S2.且S1+S2=2,求k的值;
(2)若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?
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在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2.若将此直角三角形的一条直角边BC或AC与x轴重合,使点A或点B刚好在反比例函数 (x>0)的图象上时,设△ABC在第一象限部分的面积分别记做S1、S2(如图1、图2所示)D是斜边与y轴的交点,通过计算比较S1、S2的大小.
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