(1)设反比例函数的解析式y=, ∵反比例函数的图象过点E(3,4), ∴4=,即k=12. ∴反比例函数的解析式y=;
(2)∵正方形AOCB的边长为4, ∴点D的横坐标为4,点F的纵坐标为4. ∵点D在反比例函数的图象上, ∴点D的纵坐标为3,即D(4,3). ∵点D在直线y=-x+b上, ∴3=-×4+b,解得b=5. ∴直线DF为y=-x+5, 将y=4代入y=-x+5,得4=-x+5,解得x=2. ∴点F的坐标为(2,4).
(3)∠AOF=∠EOC. 证明:在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H. ∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=90°,AF=CG=2, ∴△OAF≌△OCG(SAS). ∴∠AOF=∠COG. ∵∠EGB=∠HGC,∠B=∠GCH=90°,BG=CG=2, ∴△EGB≌△HGC(ASA). ∴EG=HG. 设直线EG:y=mx+n, ∵E(3,4),G(4,2), ∴,解得,. ∴直线EG:y=-2x+10. 令y=-2x+10=0,得x=5. ∴H(5,0),OH=5. 在Rt△AOE中,AO=4,AE=3,根据勾股定理得OE=5. ∴OH=OE. ∴OG是等腰三角形底边EH上的中线. ∴OG是等腰三角形顶角的平分线. ∴∠EOG=∠GOH. ∴∠EOG=∠GOC=∠AOF,即∠AOF=∠EOC. |