(1)作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F,如图, 解方程组得或(x>0,舍去), ∴P点坐标为(4,4), ∴OP==4;
(2)设直线PC的解析式为y=kx+b, 把C(-6,0)和P(4,4)代入得,解得, ∴直线PC的解析式为y=x+, ∴A点坐标为(0,), ∴AF=OF-OA=, 把△PAF绕点P逆时针旋转90°得到△PGE, ∴∠PEG=∠PFA=90°,EG=FA,∠APG=90°,PA=PG, 而∠PEO=90°, ∴点O、E、G点共线, ∴BG=BE+EG=BE+AF, ∵∠APB=45°, ∴∠BPG=45°, 在△PBA和△PBE中 , ∴△PBA≌△PBE(SAS), ∴AB=BG=AF+BE, 设OB=t,则BE=4-t,AB=+4-t=-t, 在Rt△OAB中,∵OA2+OB2=AB2, ∴()2+t2=(-t)2,解得t=, ∴OB=, ∵OB∥PF, ∴△DOB∽△DFP, ∴=,即=,解得OD=, ∴D点坐标为(0,-);
(3)△OAB的周长不变化,其周长为8. 由(2)得到AB=BG=AF+BE, ∴△OAB的周长=OA+OB+AB=OA+OB+AF+BE=AF+OE=4+4=8;
(4)①证明:OP⊥AB于H,如图, ∵OP平分∠AOB, ∴OH垂直平分AB, ∴OA=OB,PA=PB, ∴OP平分∠APB,即∠APO=∠BPO, ∵∠POC=∠POA+∠AOC=135°, ∠POD=∠POB+∠BOD=135°, ∴∠POC=∠POD, 在△POC和△POB中 , ∴△POC≌△POB(ASA), ∴OC=OD, ∵PO平分∠COD, ∴PO⊥CD; ②∵∠APO=∠BPO,∠APB=45°, ∴∠APO=∠BPO=22.5°, 而∠OPE=45°, ∴∠HPB=∠BPE=22.5°, 在△BHP和△BEP中 , ∴△BHP≌△BEP(AAS), ∴PH=PE=4, ∵OP=4, ∴OH=4-4=4(-1) ∴AB=2OH=8(-1), ∴△OAB的面积=×4(-1)×8(-1)=48-32. |