如图,直线y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,P(a,b)为双曲线y=12x(x>0)上的一点,PM⊥x轴于M,交AB于E,PN⊥y轴于N,交AB于F.

如图,直线y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,P(a,b)为双曲线y=12x(x>0)上的一点,PM⊥x轴于M,交AB于E,PN⊥y轴于N,交AB于F.

题型:不详难度:来源:
如图,直线y=-x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,P(a,b)为双曲线y=
1
2x
(x>0)
上的一点,PM⊥x轴于M,交AB于E,PN⊥y轴于N,交AB于F.
(1)当点P的坐标为(
3
4
2
3
)时,求E、F两点的坐标及△EOF的面积;
(2)用含a,b的代数式表示E、F两点的坐标及△EOF的面积;
(3)求BE•AF的值.
答案
(1)∵点P的坐标为(
3
4
2
3

而PM⊥x轴,PN⊥y轴,
∴E点的横坐标为
3
4
,F点的纵坐标为
2
3

∵点E、F在直线y=-x+1上,
当x=
3
4
时,y=-
3
4
+1=
1
4

当y=
2
3
时,
2
3
=-x+1,则x=
1
3

∴E、F两点的坐标分别为(
3
4
1
4
)、(
1
3
2
3
);
∵A点坐标为(1,0),B点坐标为(0,1),
∴S△OAB=
1
2
×1×1=
1
2

∴S△EOF=S△OAB-S△OBF-S△OAE
=
1
2
-
1
2
×1×
1
3
-
1
2
×1×
1
4
=
5
24


(2)∵点P的坐标为(a,b),0<a≤1,且b=
1
2a

而PM⊥x轴,PN⊥y轴,
∴E点的横坐标为a,F点的纵坐标为b,
∵点E、F在直线y=-x+1上,
∴当x=a时,y=-a+1,
当y=b时,b=-x+1,则x=-b+1,
∴E、F两点的坐标分别为(a,-a+1)、(-b+1,b);
S△EOF=S△OAB-S△OBF-S△OAE
=
1
2
-
1
2
×1×(-b+1)-
1
2
×1×(-a+1)=
1
2
(a+b-1);

(3)作EG⊥y轴于G,FH⊥x轴于H点,如图,
∵OA=OB=1,
∴△OAB为等腰直角三角形,
∴△GEB、△FHA都为等腰直角三角形,
∴BE=


2
GE,AF=


2
FH,
而E、F两点的坐标分别为(a,-a+1)、(-b+1,b),ab=1,
∴BE=


2
a,AF=


2
b,
∴BE•AF=2ab=2×
1
2
=1.
举一反三
如图,半圆O的直径AD=12cm,AB,BC,CD分别与半圆O切于点A,E,D.
(1)设AB=x,CD=y,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果CD=6,判断四边形ABCD的形状;
(3)如果AB=4,求图中阴影部分的面积.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点P是BC上与B、C不重合的任意一点,设PA=x,点D到AP的距离为y,求y与x的函数表达式.
题型:不详难度:| 查看答案
如图是一个光学仪器的曲面横截面,图中的曲线是一段双曲线,一个端点的坐标是A(10,80).
(1)求这段图象的函数解析式及自变量的范围;
(2)求这段函数图象与直线y=x的交点C的坐标.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,双曲线y=
k
x
(k>0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点,分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线.已知点P坐标为(1,3),则图中阴影部分的面积为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,P是双曲线y=
4
x
(x>0)的一个分支上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=3相切时,点P的坐标为______.
题型:不详难度:| 查看答案
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