(1)作AD⊥x轴于D ∵△AOB为等腰直角三角形 ∴OD=AD=BD 设A(a,a), 则a=3a-4, 解得a=2 ∴点A(2,2);
(2)又点A在y=上, ∴k=4,反比列函数为y=;
(3)存在. 设M(m,n) ∵∠PAM=∠OAB=90° ∴∠OAP=∠BAM ∵OA=ABAP=AM ∴△OAP≌△BAM ∴∠ABM=∠AOP=45° ∴∠OBM=90°,即MB⊥x轴 ∵△ABO是等腰直角三角形,A(2,2) ∴OB=4 ∵点M在y=上 ∴M(4,1);
(4)不存在 由(3)中所证易知: 假设在双曲线上存在点N, 若△PAN为等腰直角三角形 则:△PAB≌△NAO ∴∠NOA=∠PBA=45° ∴∠NOB=90° 则点N在y轴上, ∴点N不在双曲线上 ∴点N不存在.
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