已知抛物线,(1)若求该抛物线与x轴的交点坐标;(2)若 ,证明抛物线与x轴有两个交点;(3)若且抛物线在区间上的最小值是-3,求b的值.
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已知抛物线,(1)若求该抛物线与x轴的交点坐标;(2)若 ,证明抛物线与x轴有两个交点;(3)若且抛物线在区间上的最小值是-3,求b的值.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线
,
(1)若
求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若
,证明抛物线与x轴有两个交点;
(3)若
且抛物线在
区间上的最小值是-3,求b的值.
答案
(1)(-1,0)和(
,0);(2)证明见解析;(3)3或
.
解析
试题分析:(1)将a、b、c的值代入,可得出抛物线解析式,从而可求解抛物线与x轴的交点坐标.
(2)把
代入抛物线解析式,表示出方程的判别式的表达式,利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论.
(3)
,则抛物线可化为
,其对称轴为x=-b,以-1≤x≤2为区间,讨论b的取值,根据最小值为-3,可得出方程,求出b的值即可.
(1)当
时,抛物线为
,
∵方程
的两个根为x
1
=-1,x
2
=
,
∴该抛物线与x轴交点的坐标是(-1,0)和(
,0).
(2)当
时,抛物线
,
设y=0,则
,
∴
,
∴抛物线与x轴有两个交点.
(3)
,则抛物线可化为
,其对称轴为x=-b,
当-b<-2时,即b>2,则有抛物线在x=-2时取最小值为-3,
此时-3=(-2)
2
+2×(-2)b+b+2,
解得:b=3,符合题意.
当-b>2时,即b<-2,则有抛物线在x=2时取最小值为-3,
此时-3=2
2
+2×2b+b+2,
解得:b=
,不合题意,舍去.
当-2≤-b≤2时,即-2≤b≤2,则有抛物线在x=-b时取最小值为-3,
此时-3=(-b)
2
+2×(-b)b+b+2,
化简得:b
2
-b-5=0,
解得:b
1
=
(不合题意,舍去),b
2
=
.
综上可得:b=3或b=
.
举一反三
抛物线y=-x
2
+2x+3的顶点坐标是( )
A.(-1,4)
B.(1,3)
C.(-1,3)
D.(1,4)
题型:不详
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如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,点A坐标为(0,6),点C坐标为(3,0),BC=
,一抛物线过点A、B、 C.
(1)填空:点B的坐标为
;
(2)求该抛物线的解析式;
(3)作平行于x轴的直线与x轴上方的抛物线交于点E 、F,以EF为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的半径.
题型:不详
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已知
的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为(1,0),与y轴的交点在(0,2)与(0,3)之间(不包含端点),则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系中,△ABC的边AB在x轴上,∠ABC=90°,AB=BC,OA=1,OB=4,抛物线
经过A、C两点.
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标;
(2)如图①,点P是抛物线上位于x轴下方的一点,点Q与点P关于抛物线的对称轴对称,过点P、Q分别向x轴作垂线,垂足为点D、E,记矩形DPQE的周长为d,求d的最大值,并求出使d最大值时点P的坐标;
(3)如图②,点M是抛物线上位于直线AC下方的一点,过点M作MF⊥AC于点F,连接MC,作MN∥BC交直线AC于点N,若MN将△MFC的面积分成2:3两部分,请确定M点的坐标.
题型:不详
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如图①,在□ABCD中,对角线AC⊥AB,BC=10,tan∠B=2.点E是BC边上的动点,过点E作EF⊥BC于点E,交折线AB-AD于点F,以EF为边在其右侧作正方形EFGH,使EH边落在射线BC上.点E从点B出发,以每秒1个单位的速度在BC边上运动,当点E与点C重合时,点E停止运动,设点E的运动时间为t(
)秒.
(1)□ABCD的面积为
;当t=
秒时,点F与点A重合;
(2)点E在运动过程中,连接正方形EFGH的对角线EG,得△EHG,设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围;
(3)作点B关于点A的对称点Bˊ,连接CBˊ交AD边于点M(如图②),当点F在AD边上时,EF与对角线AC交于点N,连接MN得△MNC.是否存在时间t,使△MNC为等腰三角形?若存在,请求出使△MNC为等腰三角形的时间t;若不存在,请说明理由.
题型:不详
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