已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.(2)以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该
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已知二次函数y=x2﹣2mx+4m﹣8(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.(2)以抛物线y=x2﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数y=x
2
﹣2mx+4m﹣8(1)当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围.(2)以抛物线y=x
2
﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN(M,N两点在拋物线上),请问:△AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.(3)若抛物线y=x
2
﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的最小值.
答案
(1)m≥2 (2)见解析 (3)m=2
解析
试题分析:(1)求出二次函数的对称轴x=m,由于抛物线的开口向上,在对称轴的左边y随x的增大而减小,可以求出m的取值范围.
(2)在抛物线内作出正三角形,求出正三角形的边长,然后计算三角形的面积,得到△AMN的面积是m无关的定值.
(3)当y=0时,求出抛物线与x轴的两个交点的坐标,然后确定整数m的值.
试题解析:(1)二次函数y=x
2
-2mx+4m-8的对称轴是:x=m.
∵当x≤2时,函数值y随x的增大而减小,
而x≤2应在对称轴的左边,
∴m≥2.
(2)如图:顶点A的坐标为(m,-m
2
+4m-8)
△AMN是抛物线的内接正三角形,
MN交对称轴于点B,tan∠AMB=tan60°=
,
则AB=
BM=
BN,
设BM=BN=a,则AB=
a,
∴点M的坐标为(m+a,
a-m
2
+4m-8),
∵点M在抛物线上,
∴
a-m
2
+4m-8=(m+a)
2
-2m(m+a)+4m-8,
整理得:a
2
-
a=0
得:a=
(a=0舍去)
所以△AMN是边长为2
的正三角形,
S
△AMN
=
×2
×3=3
,与m无关;
(3)当y=0时,x
2
-2mx+4m-8=0,
解得:
,
∵抛物线y=x
2
-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数,
∴(m-2)
2
+4应是完全平方数,
∴m的最小值为:m=2.
考点: 二次函数综合题.
举一反三
抛物线
的一部分如图所示,该抛物线在
轴右侧部分与
轴交点的坐标是( ).
A.(0.5,0)
B.(1,0)
C.(2,0)
D.(3,0)
题型:不详
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如图:点P(x,y)为平面直角坐标系内一点,PB⊥x 轴,垂足为B, A为(0,2),若PA=PB,则以下结论正确的是( ).
A.点P在直线
上
B.点P在抛物线
上
C.点P在抛物线
上
D.点P在抛物线
上
题型:不详
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如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么
的值是
.
题型:不详
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某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
题型:不详
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已知直线y=x+6交x轴于点A,交y轴于点C,经过A和原点O的抛物线y=ax
2
+bx(a<0)的顶点B在直线AC上.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)以B点为圆心,以AB为半径作⊙B,将⊙B沿x轴翻折得到⊙D,试判断直线AC与⊙D的位置关系,并说明理由;
(3)若E为⊙B优弧
上一动点,连结AE、OE,问在抛物线上是否存在一点M,使∠MOA︰∠AEO=2︰3,若存在,试求出点M的坐标;若不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
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