如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC
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如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC
题型:不详
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如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC方向运动;同时,点Q从点B出发,以每秒1个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动.问当t为何值时,△APQ∽△AOB?
(3)若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.
①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M运动到何处时,四边形CBNA的面积最大?求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值.
答案
(1)
;(2)
;(3)①不存在;②当点M运动到(
,-6)时,四边形CBNA的面积最大,四边形CBNA面积的最大值为
.
解析
试题分析:(1)应用待定系数法,设交点式求解;
(2)根据相似三角形的性质求解即可;
(3)①由MN=OB=12列式,根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形结论;②求出面积关于x的二次函数关系式,应用二次函数最值原理求解即可.
试题解析:(1)因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),故设抛物线解析式为:
.
又∵B(0,-12) ∴
,解得a=
。
∴抛物线的解析式为
.
(2)∵OA=9,OB=12,∴AB=15.
∵点P的速度是每秒2个单位,点Q的速度是每秒1个单位,∴AP=2t,AQ=15-t.
又∵AC=12,∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB,∴
,即
,解得
.
∴当
时,△APQ∽△AOB.
(3)易求直线AB的函数关系式为
.
设点M的横坐标为x,则M(x,
),N(x,
).
①若四边形OMNB为平行四边形,则MN=OB=12
∴
,即x
2
-9x+27=0.
∵△<0,∴此方程无实数根.
∴不存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形.
②∵S
四边形CBNA
=S
△
ACB
+S
△
ABN
="72+" S
△
ABN
∵S
△
AOB
=54,S
△
OBN
=6x,S
△
OAN
=
·9·
=-2x
2
+12x+54
∴S
△
ABN
=S
△
OBN
+S
△
OAN
-S
△
AOB
=6x+(-2x
2
+12x+54)-54=-2x
2
+18x=
.
∴当x=
时,S
△
ABN
最大值=
,此时M(
,-6)
S
四边形CBNA
最大=
.
举一反三
将抛物线y=(x-1)
2
+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
A.y=(x-2)
2
B.y=x
2
C.y=x
2
+6
D.y=(x-2)
2
+6
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的最小值是 _________.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=x
2
-4x+3,求出它的对称轴和顶点坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交
轴于点
,交
轴于
,
两点(点
在点
的左侧),已知
点坐标为(6,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)联结AB,过点
作线段
的垂线交抛物线于点
,如果以点
为圆心的圆与抛物线的对称轴
相切,先补全图形,再判断直线
与⊙
的位置关系并加以证明;
(3)已知点
是抛物线上的一个动点,且位于
,
两点之间.问:当点
运动到什么位置时,
的面积最大?求出
的最大面积.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的对称轴是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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