如图,已知点A (2,4) 和点B (1,0)都在抛物线上.(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A
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如图,已知点A (2,4) 和点B (1,0)都在抛物线上.(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知点A (
2,4) 和点B (1,0)都在抛物线
上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
答案
(1)
,4;(2)
;(3)D(3,0)或(
,0).
解析
试题分析:(1)已知了抛物线图象上A、B两点的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,即可求得m、n的值;(2)根据A、B的坐标,易求得AB的长;根据平移的性质知:四边形A A′B′B一定为平行四边形,若四边形A A′B′B为菱形,那么必须满足AB=BB′,由此可确定平移的距离,根据“左加右减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式;(3)易求得直线AB′的解析式,联立平移后的抛物线对称轴,可得到C点的坐标,进而可求出AB、BC、AC、B′C的长,在(2)题中已经证得AB=BB′,那么∠BAC=∠BB′C,即A、B′对应,若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,可分两种情况考虑:①∠B′CD=∠ABC,此时△B′CD∽△ABC,②∠B′DC=∠ABC,此时△B′DC∽△ABC,根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段,即可求得不同的BD长,进而可求得D点的坐标.
试题解析:(1)由于抛物线经过A (
2,4)和点B (1,0),则有:
,解得
.
(2)由(1)得:
,
由A (
2,4)、B (1,0),根据勾股定理可得
,
若四边形A A′B′B为菱形,则AB=BB′=5,即B′(6,0).
故抛物线需向右平移5个单位,即:
.
(3)由(2)得:平移后抛物线的对称轴为:x=4,
∵A(
2,4),B′(6,0),∴直线AB′:
.
当x=4时,y=1,故C(4,1). ∴AC=3
,B′C=
,BC=
.
由(2)知:AB=BB′=5,即∠BAC=∠BB′C.
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似,则:
①∠B′CD=∠ABC,则△B′CD∽△ABC,可得:
,即
,∴B′D=3,此时D(3,0);②∠B′DC=∠ABC,则△B′DC∽△ABC,可得:
即
,∴
,此时D(
,0).
综上所述,存在符合条件的D点,且坐标为:D(3,0)或(
,0).
举一反三
二次函数
,当y<0时,自变量x的取值范围是( )
A.
1<x<3
B.x<
1
C.x>3
D.x<
1或x>3
题型:不详
难度:
|
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下列函数:①
;②
;③
;④
中,y随x的增大而减小的函数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
难度:
|
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若点P
1
(
1,y
1
),P
2
(
2,y
2
),P
3
(1,y
3
),都在函数
的图象上,则( )
A.y
2
<y
1
<y
3
B.y
1
<y
2
<y
3
C.y
2
>y
1
>y
3
D.y
1
>y
2
>y
3
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
如下图所示,那么二次函数
的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在直角坐标系中,以点A(
,0)为圆心,以
为半径圆与x轴相交于点B,C,与y轴相交于点D,E.
(1)若抛物线
经过点C,D两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在该抛物线上;
(2)在(1)中的抛物线的对称轴上有一点P,使得△PBD的周长最小,求点P的坐标;
(3)设Q为(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形BCQM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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