如图,抛物线与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A、
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如图,抛物线与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A、
题型:不详
难度:
来源:
如图,抛物线
与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A、B作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接点MD、ME.
(1)求点A,B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标;若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果);若不能,说明理由.
答案
(1)A(1,0),B(5,0),证明见解析
(2)△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(
,3)
(3)能。此时点P坐标为(
,
)。
解析
试题分析:(1)在抛物线解析式中,令y=0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标。如答图1所示,作辅助线,构造全等三角形△AMF≌△BME,得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点,从而得到MD=ME,问题得证。
在
中,令y=0,即﹣
,解得x=1或x=5,
∴A(1,0),B(5,0)。
如答图1所示,分别延长AD与EM,交于点F,
∵AD⊥PC,BE⊥PC,∴AD∥BE。∴∠MAF=∠MBE。
在△AMF与△BME中,
∵∠MAF=∠MBE,MA=MB,∠AMF=∠BME,
∴△AMF≌△BME(ASA)。
∴ME=MF,即点M为Rt△EDF斜边EF的中点。
∴MD=ME,即△MDE是等腰三角形。
(2)首先分析,若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M。如答图2所示,设直线PC与对称轴交于点N,证明△ADM≌△NEM,得到MN=AM,从而求得点N坐标为(3,2);利用点N、点C坐标,求出直线PC的解析式;最后联立直线PC与抛物线的解析式,求出点P的坐标。
能。
∵
,∴抛物线的对称轴是直线x=3,M(3,0)
令x=0,得y=﹣4,∴C(0,﹣4)。
△MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形:
①若DE⊥EM,
由DE⊥BE,可知点E、M、B在一条直线上,而点B、M在x轴上,因此点E必然在x轴上。
由DE⊥BE,可知点E只能与点O重合,即直线PC与y轴重合,不符合题意。
故此种情况不存在。
②若DE⊥DM,与①同理可知,此种情况不存在。
③若EM⊥DM,如答图2所示,
设直线PC与对称轴交于点N,
∵EM⊥DM,MN⊥AM,∴∠EMN=∠DMA。
在△ADM与△NEM中,
∵∠DMA =∠EMN,DM = EM,∠ADM=∠NEM=135°,
∴△ADM≌△NEM(ASA)。∴MN=MA。
∵M(3,0),MN=MA=2,∴N(3,2)。
设直线PC解析式为y=kx+b,
∵点N(3,2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴
,解得
。
∴直线PC解析式为y=2x﹣4。
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得:
,解得:x=0或x=
。
当x=0时,交点为点C;当x=
时,y=2x﹣4=3。
∴P(
,3)。
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(
,3)。
(3)当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时,解题思路与(2)完全相同:
如答题3所示,设对称轴与直线PC交于点N,
与(2)同理,可知若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M。
∵MD⊥ME,MA⊥MN,∴∠DMN=∠EMB。
在△DMN与△EMB中,
∵∠SMN =∠EMB,DM = EM,∠MDN=∠MEB=45°,
∴△DMN≌△EMB(ASA)。∴MN=MB。∴N(3,﹣2)。
设直线PC解析式为y=kx+b,
∵点N(3,﹣2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴
,解得
。
∴直线PC解析式为y=
x﹣4。
将y=
x﹣4代入抛物线解析式得:
,解得:x=0或x=
。
当x=0时,交点为点C;当x=
时,y=
x﹣4=
。∴P(
,
)。
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(
,
)。
举一反三
如图,抛物线
的对称轴是直线x=
,与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,并且点A的坐标为(—1,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD//x轴交抛物线于点D,连接AD交y轴于点E,连接AC,设△AEC的面积为S
1
, △DEC的面积为S
2
,求S
1
:S
2
的值;
(3)点F坐标为(6,0),连接D,在(2)的条件下,点P从点E出发,以每秒3个单位长的速度沿E→C→D→F匀速运动;点Q从点F出发,以每秒2个单位长的速度沿F→A匀速运动,当其中一点到达终点时,另外一点也随之停止运动.若点P、Q同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形?请直接写出所有符合条件的t值..
题型:不详
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二次函数y=ax
2
+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;如果不存在,请给予说明.
题型:不详
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一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆.公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系:
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
(1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式.
(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.用含x(x≥3000)的代数式填表:
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益
所有未租出的车辆每月的维护费
(3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的月租金定为多少元,才能使公司获得最大月收益?请求出公司的最大月收益是多少元.
题型:不详
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已知,如图(a),抛物线
经过点A(x
1
,0),B(x
2
,0),C(0,-2),其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F,过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°,
。
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)连结AD、BD,在(1)中的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP与△ADB相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由;
(3)如图(b),点Q为
上的动点(Q不与E、F重合),连结AQ交y轴于点H,问:AH·AQ是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由。
题型:不详
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