已知:关于x的二次函数(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.(1)y1=y2,请说明a必

已知:关于x的二次函数(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.(1)y1=y2,请说明a必

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已知:关于x的二次函数(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.
(1)y1=y2,请说明a必为奇数;
(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵点A(n,y1)、B(n+1,y2)都在二次函数(a>0)的图象上,

∵y1=y2
,整理得:a=2n+1。
∵n为正整数,∴a必为奇数。
(2)当a=11时,∵y1<y2<y3

化简得:。解得:
∵n为正整数,∴n=1、2、3、4。
(3)存在。
假设存在,则AB=AC,
如图所示,过点B作BN⊥x轴于点N,过点A作AD⊥BN于点D,CE⊥BN于点E,

∵xA=n,xB=n+1,xC=n+2,∴AD=CE=1。
在Rt△ABD与Rt△CBE中,AB=BC,AD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△CBE(HL)。
∴∠BAD=∠CBE,即BN为顶角的平分线。
由等腰三角形性质可知,点A、C关于BN对称。
∴BN为抛物线的对称轴,点B为抛物线的顶点,
。∴
∴存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形,
解析
(1)将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式,利用y1=y2得到用n表示a的式子,即可得到答案;
(2)将a=11代入解析式后,由题意列出不等式组,求得此不等式组的正整数解。
(3)本问为存在型问题,如图所示,可以由三角形全等及等腰三角形的性质,判定点B为抛物线的顶点,点A、C关于对称轴对称,于是得到,从而可以求出
举一反三
二次函数图象上部分点的坐标满足下表:
则该函数图象的顶点坐标为【   】
x

﹣3
﹣2
﹣1
0
1

y

﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11

A.(-3,-3)      B.(-2,-2)      C.(-1,-3)      D.(0,-6)
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如图是二次函数图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).下列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(,y2)是抛物线上两点,则
y1>y2.其中说法正确的是【   】
A.①②B.②③C.①②④D.②③④

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如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以OC为直径作半圆,圆心为D.

(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
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已知两点均在抛物线上,点是该抛物线的顶点,若,则的取值范围是【   】
A.B.C.D.

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在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A(1,0)、B(3,0)两点.

(1)写出这个二次函数的对称轴;
(2)设这个二次函数的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连接AD、DE和DB,当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式。
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A,那么它的表达式可表示为:]
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