如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以OC为直径作半圆,圆心

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以OC为直径作半圆,圆心

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以OC为直径作半圆,圆心为D.

(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:直线BE是⊙D的切线;
(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵四边形OABC是边长为2的正方形,∴A(0,2),B(2,2)。
又∵E的坐标为(,0),
,解得,
∴该二次函数的解析式为:
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,

由题意,得

∵∠BEC=∠DEG,∠EGD=∠ECB=90°,
∴△EGD∽△ECB。
,即。∴DG=1。
∵⊙D的半径是1,且DG⊥BE,∴BE是⊙D的切线。
(3)由题意,得E(,0),B(2,2).

设直线BE为y=kx+h,则
,解得,
∴直线BE为:
∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P,对称轴直线为x=1,
∴点P的纵坐标,即P(1,)。
∵MN∥BE,∴∠MNC=∠BEC。
∵∠C=∠C=90°,∴△MNC∽△BEC。∴,即。∴



(0<t<2)。
∵抛物线(0<t<2)的开口方向向下,
∴S存在最大值,当t=1时,S最大=
解析
(1)根据题意易得点A、B的坐标,然后把点A、B、E的坐标分别代入二次函数解析式,列出关于a、b、c的方程组,利用三元一次方程组来求得系数的值。
(2)如图,过点D作DG⊥BE于点G,构建相似三角形△EGD∽△ECB,根据它的对应边成比例得到,由此求得DG=1(圆的半径是1),则易证得结论。
(3)利用待定系数法求得直线BE为:,则易求P(1,).然后由相似三角形△MNC∽△BEC的对应边成比例,线段间的和差关系得到.所以由即可求得(0<t<2),由抛物线的性质可以求得S的最值。
举一反三
已知两点均在抛物线上,点是该抛物线的顶点,若,则的取值范围是【   】
A.B.C.D.

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在平面直角坐标系中,一个二次函数的图象经过点A(1,0)、B(3,0)两点.

(1)写出这个二次函数的对称轴;
(2)设这个二次函数的顶点为D,与y轴交于点C,它的对称轴与x轴交于点E,连接AD、DE和DB,当△AOC与△DEB相似时,求这个二次函数的表达式。
[提示:如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A,那么它的表达式可表示为:]
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将抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为【   】
A.B.C.D.

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二次函数的图象如图所示,则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为【   】
 
A.B.C.D.

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如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.

(1)请直接写出抛物线y2的解析式;
(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;
(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.
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