如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P
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如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P
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如图,二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),与y轴相交于点C(0,3),点P是该图象上的动点;一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象过点P交x轴于点Q.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)当点P的坐标为(﹣4,m)时,求证:∠OPC=∠AQC;
(3)点M,N分别在线段AQ、CQ上,点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动,同时,点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动,当点M,N中有一点到达Q点时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒.连接AN,当△AMN的面积最大时,
①求t的值;
②直线PQ能否垂直平分线段MN?若能,请求出此时点P的坐标;若不能,请说明你的理由.
答案
解:(1)∵二次函数的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(﹣1,0),
∴设二次函数的解析式为:y=a(x+3)(x+1)。
∵二次函数的图象经过点C(0,3),∴3=a×3×1,解得a=1。
∴二次函数的解析式为:y=(x+3)(x+1),即y =x
2
+4x+3。
(2)证明:在二次函数解析式y=x
2
+4x+3中,当x=﹣4时,y=3,∴P(﹣4,3)。
∵P(﹣4,3),C(0,3),∴PC=4,PC∥x轴。
∵一次函数y=kx﹣4k(k≠0)的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,∴Q(4,0),OQ=4。
∴PC=OQ。
又∵PC∥x轴,∴四边形POQC是平行四边形。
∴∠OPC=∠AQC。
(3)①在Rt△COQ中,OC=3,OQ=4,由勾股定理得:CQ=5.
如答图1所示,过点N作ND⊥x轴于点D,则ND∥OC,
∴△QND∽△QCO。
∴
,即
,
解得:
。
设S=S
△
AMN
,则:
。
又∵AQ=7,点M的速度是每秒3个单位长度,
∴点M到达终点的时间为t=
,
∴
(0<t≤
)。
∵
<0,
<
,且x<
时,y随x的增大而增大,
∴当t=
时,△AMN的面积最大。
②假设直线PQ能够垂直平分线段MN,则有QM=QN,且PQ⊥MN,PQ平分∠AQC。
由QM=QN,得:7﹣3t=5﹣t,解得t=1。
此时点M与点O重合,如答图2所示,
设PQ与OC交于点E,由(2)可知,四边形POQC是平行四边形,
∴OE=CE。
∵点E到CQ的距离小于CE,
∴点E到CQ的距离小于OE。
而OE⊥x轴,
∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾。
∴直线PQ不能垂直平分线段MN
解析
试题分析:(1)利用交点式求出抛物线的解析式。
(2)证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证。
(3)①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值。
②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN。
举一反三
已知二次函数y=x
2
+2mx+2,当x>2时,y的值随x值的增大而增大,则实数m的取值范围是
.
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已知:直线
过抛物线
的顶点P,如图所示.
(1)顶点P的坐标是
;
(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式;
(3)在(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线
的交点坐标.
题型:不详
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已知二次函数
的图象如图所示,有下列5个结论:
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b<m (am+b)(m≠1的实数)。
其中正确结论的序号有
。
题型:不详
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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在DA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上.
(1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线
经过B,H, D三点,求抛物线解析式;
(3)点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B, D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC 和 BD于点N, M,是否存在这样的点P,使
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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二次函数
的图象如图所示,反比例函数
与一次函数
在同一平面直角坐标系中的大致图象是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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