如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在DA
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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在DA
题型:不详
难度:
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如图,在平面直角坐标系中有一矩形ABCO(O为原点),点A、C分别在x轴、y轴上,且C点坐标为(0,6),将△BCD沿BD折叠(D点在OC边上),使C点落在DA边的E点上,并将△BAE沿BE折叠,恰好使点A落在BD边的F点上.
(1)求BC的长,并求折痕BD所在直线的函数解析式;
(2)过点F作FG⊥x轴,垂足为G,FG的中点为H,若抛物线
经过B,H, D三点,求抛物线解析式;
(3)点P是矩形内部的点,且点P在(2)中的抛物线上运动(不含B, D点),过点P作PN⊥BC,分别交BC 和 BD于点N, M,是否存在这样的点P,使
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案
解:(1)由翻折可知:△BCD≌△BED,∴∠CBD=∠DBE。
又∵△ABE≌△FBE,∴∠DBE=∠ABE。
又∵四边形OCBA为矩形,∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°。
在Rt△DOE中,∠ODE=60°,∴DE=CD=2OD。
∵OC=OD+CD=6,∴OD+2OD=6,∴OD=2,D(0,2)。∴CD=4。
在Rt△CDB中,BC=CD•tan60°=4
,∴B(4
,6)。
设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意得:
,解得
。
∴直线BD的解析式为:
。
(2)在Rt△FGE中,∠FEG=60°,FE=AE.
由(1)易得:OE=2
,∴FE=AE=2
。
∴FG=3,GE=
。∴OG=
。
∵H是FG的中点,∴H(
,
)。
∵抛物线
经过B、H、D三点,
∴
,解得
。
∴抛物线解析式为
。
(3)存在。
∵P在抛物线上,∴设P(x,
),M(x,
),N(x,6)。
∵S
△
BNM
=S
△
BPM
,∴PM=MN.即:
。
整理得:
,解得:x=2
或x=4
。
当x=2
时,
;
当x=4
时,
,与点B重合,不符合题意,舍去。
∴P(2
,2)。
∴存在点P,使S
△
BNM
=S
△
BPM
,点P的坐标为(2
,2)。
解析
试题分析:(1)首先由折叠性质得到∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°,然后解直角三角形得到点D、点B的坐标,最后用待定系数法求出直线BD的解析式;
(2)点B、D坐标已经求出,关键是求出点H的坐标.在Rt△FGE中,解直角三角形求出点H的坐标,再利用待定系数法求出抛物线的解析式。
(3)由S
△
BNM
=S
△
BPM
,且这两个三角形等高,所以得到PM=MN.由此结论,列出方程求出点P的坐标。
举一反三
二次函数
的图象如图所示,反比例函数
与一次函数
在同一平面直角坐标系中的大致图象是
A.
B.
C.
D.
题型:不详
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今年,6月12日为端午节。在端午节前夕,三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息,解答小华和小明提出的问题。
(1)小华的问题解答:
;
(2)小明的问题解答:
。
题型:不详
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如图,在直角体系中,直线AB交x轴于点A(5,0),交y轴于点B,AO是⊙M的直径,其半圆交AB于点C,且AC=3。取BO的中点D,连接CD、MD和OC。
(1)求证:CD是⊙M的切线;
(2)二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求△PDM的周长最小时点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当△PDM的周长最小时,抛物线上是否存在点Q,使
?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
题型:不详
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如图,△ABC中,AB=BC,AC=8,tanA=k,P为AC边上一动点,设PC=x,作PE∥AB交BC于E,PF∥BC交AB于F.
(1)证明:△PCE是等腰三角形;
(2)EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高,用含x和k的代数式表示EM、FN,并探究EM、FN、BH之间的数量关系;
(3)当k=4时,求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式.x为何值时,S有最大值?并求出S的最大值.
题型:不详
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如图,在直角梯形AOCB中,AB∥OC,∠AOC=90°,AB=1,AO=2,OC=3,以O为原点,OC、OA所在直线为轴建立坐标系.抛物线顶点为A,且经过点C.点P在线段AO上由A向点O运动,点O在线段OC上由C向点O运动,QD⊥OC交BC于点D,OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E′是E关于y轴的对称点,点Q运动到何处时,四边形OEAE′是菱形?
(3)点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发,运动的时间为t秒,当t为何值时,PB∥OD?
题型:不详
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