解:(1)证明:连接CM,
∵OA 为⊙M直径,∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。 ∵D为OB中点,∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。 ∵MO=MC,∴∠MCO=∠MOC。 ∴。 又∵点C在⊙M上,∴DC是⊙M的切线。 (2)∵A点坐标(5,0),AC=3 ∴在Rt△ACO中,。 ∴,∴,解得 。 又∵D为OB中点,∴。∴D点坐标为(0,)。 连接AD,设直线AD的解析式为y=kx+b,则有 解得。 ∴直线AD为。 ∵二次函数的图象过M(,0)、A(5,0), ∴抛物线对称轴x=。 ∵点M、A关于直线x=对称,设直线AD与直线x=交于点P, ∴PD+PM为最小。 又∵DM为定长,∴满足条件的点P为直线AD与直线x=的交点。 当x=时,。 ∴P点的坐标为(,)。 (3)存在。 ∵, 又由(2)知D(0,),P(,), ∴由,得,解得yQ=±。 ∵二次函数的图像过M(0,)、A(5,0), ∴设二次函数解析式为, 又∵该图象过点D(0,),∴,解得a=。 ∴二次函数解析式为。 又∵Q点在抛物线上,且yQ=±。 ∴当yQ=时,,解得x=或x=; 当yQ=时,,解得x=。 ∴点Q的坐标为(,),或(,),或(,)。 |