(1)解:由点M在准线上,得=2,故=2,∴c=1,从而a=,所以椭圆方程为+y2=1. (2)解:以OM为直径的圆的方程为x(x-2)+y(y-t)=0,即(x-1)2+=+1,其圆心为,半径r=,因为以OM为直径的圆被直线3x-4y-5=0截得的弦长为2,所以圆心到直线3x-4y-5=0的距离d==,所以=,解得t=4,所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=5. (3)证明:设N(x0,y0),则=(x0-1,y0),=(2,t),=(x0-2,y0-t),=(x0,y0).∵⊥,∴2(x0-1)+ty0=0,∴2x0+ty0=2. ∵⊥,∴x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴+=2x0+ty0=2,∴||==为定值. |