(1)解:令椭圆mx2+ny2=1,其中m=,n=,得所以m=,n=,即椭圆方程为=1. (2)证明:直线AB:=1,设点P(x0,y0),则OP的中点为,所以点O、M、P、N所在的圆的方程为=,化简为x2-x0x+y2-y0y=0,与圆x2+y2=作差,即直线MN:x0x+y0y=.
因为点P(x0,y0)在直线AB上,得=1, 所以x0+=0,即 得x=-,y=,故定点E ,·==. (3)解:由直线AB与圆G:x2+y2= (c是椭圆的焦半距)相离,则>,即4a2b2>c2(a2+b2),4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因为0<e<1,所以0<e2<3- ①.连结ON、OM、OP,若存在点P使△PMN为正三角形,则在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c,所以≤c,a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因为0<e<1,所以≤e2<1,②.由①②得≤e2<3-,所以 |