(1)解:设点P(x,y),则F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0).由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4,化简得x= ,故所求点P的轨迹为直线x= . (2)解:将x1=2,x2= 分别代入椭圆方程,以及y1>0,y2<0得M 、N .直线MTA的方程为 ,即y= x+1.直线NTB的方程为 ,即y= x- .联立方程组,解得 所以点T的坐标为 . (3)证明:点T的坐标为(9,m),直线MTA的方程为 ,即y= (x+3).直线NTB的方程为 ,即y= (x-3). 分别与椭圆 =1联立方程组,同时考虑到x1≠-3,x2≠3,解得 M 、N![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025215116-70920.png) (证法1)当x1≠x2时,直线MN的方程为 ,令y=0,解得x=1,此时必过点D(1,0);当x1=x2时,直线MN的方程为x=1,与x轴交点为D(1,0),所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0). (证法2)若x1=x2,则由 及m>0,得m=2 ,此时直线MN的方程为x=1,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191025/20191025215117-18069.png) 过点D(1,0).若x1≠x2,则m≠2 .直线MD的斜率kMD= , 直线ND的斜率kND= ,得kMD=kND,所以直线MN过D点. 因此,直线MN必过x轴上的点D(1,0). |