如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=12AB，且O为AB中点．（I）求证：BC∥平面POD；（II）求证：AC⊥PD．

题型：不详难度：来源：

如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD=CD=

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AB，且O为AB中点．
（I）求证：BC∥平面POD；
（II）求证：AC⊥PD．

答案

证明：（I）因为O为AB中点，
所以BO=

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AB，（1分）
又AB∥CD，CD=

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AB，
所以有CD=BO，CD∥BO，（2分）
所以ODCB为平行四边形，
所以BC∥OD，（3分）
又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，
所以BC∥平面POD．（5分）
（II）连接OC．
因为CD=BO=AO，CD∥AO，
所以ADCO为平行四边形，（6分）
又AD=CD，所以ADCO为菱形，
所以AC⊥DO，（7分）
因为正三角形PAB，O为AB中点，
所以PO⊥AB，（8分）
又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB=AB，
所以PO⊥平面ABCD，（10分）
而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
又PO∩DO=O，所以AC⊥平面POD．（12分）
又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD．（13分）