分析:(1)先把点B的坐标代入,可求得a的值,再利用配方法将一般式化为顶点式,即可求得抛物线的顶点坐标。 (2)先由抛物线的解析式,求出与x轴的交点A的坐标,与y轴的交点C的坐标,再由△AMC与△ABC的面积相等,得出这两个三角形AC边上的高相等,又由点B与点M都在AC的下方,得出BM∥AC,则点M既在过B点与AC平行的直线上,又在抛物线上,所以先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2,再设直线BM的解析式为y=x+n,将点B(3,0)代入,求出n的值,得到直线BM的解析式为,然后解方程组,即可求出点M的坐标。 (3)连接BC并延长,交抛物线的对称轴x=﹣于点N,连接AN,根据轴对称的性质得出AN=BN,并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大.运用待定系数法求出直线BC的解析式,再将x=﹣代入,求出y的值,得到点N的坐标,然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可。 解:(1)∵抛物线经过点B(3,0), ∴,解得。 ∴。 ∵, ∴抛物线的顶点坐标为(﹣,)。 (2)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣,与x轴交于点A和点B,点B的坐标为(3,0), ∴点A的坐标为(﹣6,0)。 又∵当x=0时,y=2,∴C点坐标为(0,2)。 设直线AC的解析式为y=kx+b, 则,解得:。 ∴直线AC的解析式为y=x+2。 ∵S△AMC=S△ABC,∴点B与点M到AC的距离相等。 又∵点B与点M都在AC的下方,∴BM∥AC。 设直线BM的解析式为y=x+n,将点B(3,0)代入,得×3+n=0,解得n=﹣1。 ∴直线BM的解析式为. 由,解得,。 ∴M点的坐标是(﹣9,﹣4)。 (3)在抛物线对称轴上存在一点N,能够使d=|AN﹣CN|的值最大。理由如下: ∵抛物线与x轴交于点A和点B, ∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称。 连接BC并延长,交直线x=﹣于点N,连接AN,则AN=BN,此时d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大。
设直线BC的解析式为y=mx+t,将B(3,0),C(0,2)两点的坐标代入, 得,解得:。 ∴直线BC的解析式为y=x+2。, 当x=﹣时,y=-×(﹣)+2=3。 ∴点N的坐标为(﹣,3),d的最大值为。 |