已知.在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=,若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt

已知.在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=,若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt

题型:不详难度:来源:
已知.在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=,若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内,将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.

(1)求经过点O,C,A三点的抛物线的解析式.
(2)求抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标.
(3)线段OB与抛物线交与点E,点P为线段OE上一动点(点P不与点O,点E重合),过P点作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:在线段OE上是否存在这样的点P,使得PD=CM?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
(2)(,1)
(3)存在。理由见解析
解析

分析:(1)在Rt△AOB中,根据AO的长和∠BOA的度数,可求得OB的长,根据折叠的性质即可得到OA=OC,且∠BOC=∠BOA=30°,过C作CD⊥x轴于D,即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值,从而求出点C、A的坐标,将A、C、O的坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求出待定系数的值,从而确定该抛物线的解析式。
(2)求出直线BO的解析式,进而利用x=求出y的值,即可得出D点坐标。
(3)根据(1)所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标(即C点),设直线MP与x轴的交点为N,且PN=t,在Rt△OPN中,根据∠PON的度数,易得PN、ON的长,即可得到点P的坐标,然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标,过M作MF⊥CD(即抛物线对称轴)于F,过P作PQ⊥CD于Q,若PD=CM,那么CF=QD,根据C、M、P、D四点纵坐标,易求得CF、QD的长,联立两式即可求出此时t的值,从而求得点P的坐标。
解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H,

∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,OA=
,AB=2。
由折叠的性质知:∠COB=30°,OC=AO=
∴∠COH=60°,OH=,CH=3。
∴C点坐标为(,3)。
∵O点坐标为:(0,0),∴抛物线解析式为(a≠0)。
∵图象经过C(,3)、A(,0)两点,
,解得
∴此抛物线的函数关系式为:
(2)∵AO=,AB=2,∴B点坐标为(,2)。
∴设直线BO的解析式为:y=kx,则2=k,解得:k=
∴设直线BO的解析式为:y=x。
的对称轴为直线
∴将两函数联立得出:y=
∴抛物线的对称轴与线段OB交点D的坐标为:(,1)。
(3)存在。
的顶点坐标为(,3),即为点C,
MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t;
∵∠BOA=30°,∴ON=t。∴P(t,t)。
作PQ⊥CD,垂足为Q,MF⊥CD,垂足为F,

把x=t代入,得
∴M(t,﹣),F()。
同理:Q(,t),D(,1)。
要使PD=CM,只需CF=QD,即,解得t=,t=1(舍去)。
∴P点坐标为
∴存在满足条件的P点,使得PD=CM,此时P点坐标为
举一反三
某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q =" W" + 100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100
(1)用含x和n的式子表示Q;
(2)当x = 70,Q = 450时,求n的值;
(3)若n = 3,要使Q最大,确定x的值;
(4)设n = 2,x = 40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420,若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是 
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如图,已知二次函数的图象过点A(0,﹣3),B(),对称轴为直线,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别截取PC=MP,MD=OM,OE=ON,NF=NP.

(1)求此二次函数的解析式;
(2)求证:以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;
(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.
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由示意图可见,抛物线y=x2 +px+q   ①若有两点A(a,yl)、B(b,y2)(其中a<b)在x轴下方,则抛物线必与x轴有两个交点C(x1,O)、D(x2,O)(其中xl<x2),且满足xl<a<b<x2.当A(1,- 2.005),且xl、x2均为整数时,求二次函数的表达式,

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某公司营销A,B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:
信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系
当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6。
信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系
根据以上信息,解答下列问题:
(1)求二次函数解析式;
(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A,B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?
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如图,直线与抛物线相交于A,B两点,与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设△OCD的面积为S,且
(1)求b的值;
(2)求证:点在反比例函数的图象上;
(3)求证:

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