在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0,),点D的坐标为(1,),点C在轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点P

在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0,),点D的坐标为(1,),点C在轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点P

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为
(0,),点D的坐标为(1,),点C轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C,点PCD的中点.

(1)求抛物线的解析式及点P的坐标;
(2) 在轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以Q为圆心的圆同时与轴、直线OP相切.若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点OMD的圆与轴的正半轴交于点N.求证:OM+ON为定值.
(4)在轴上找一点H,使∠PHD最大.试求出点H的坐标.
答案
(1) (2) (3)H                               
解析

试题分析:解:(1) 设抛物线的解析式为
将(0,0)代入,得 ,
∴抛物线的解析式为      2分
                                                      4分

(2)若⊙Q在直线OP上方,则QD点重合,此时Q1;           
若⊙Q在直线OP下方,与轴、直线OP切于E、F
QE=QFQE轴,QFOP
∴OQ平分∠EOF
∵∠EOF="120°"   ∴∠FOQ=60°
∵∠POC=30°,则∠QOC=30°                                  
Q,则
解得(舍去),      ∴              8分
(3)∵在过点OMD的圆中,有∠MOD=∠NOD       ∴MD= ND
易得OD平分∠AOPDA轴,DPOP DA= DP
可证得△NAD≌△MPD(HL)  ∴MP= AN  
∴OM+ON= OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=
OM+ON=,即OM+ON为定值.                              11分
(4)作过P、D两点且与轴相切于点H的圆S,
则由圆周角大于圆外角可知,∠PHD最大.                         12分
,则由HS=SD=SP
可得,
H                                14分

点评:此题比较综合,把几何图形和二次函数结合起来考察学生,要求学生都知识的掌握程度比较高,解答过程稍微比较复杂,是区分学生成绩的题目。
举一反三
如图,抛物线与x轴的两个交点A、B,与y轴交于点C,A点坐标为(4,0),C点坐标(0,-4).

(1)求抛物线的解析式;
(2)用直尺和圆规作出△ABC的外接圆⊙M,(不写作法,保留作图痕迹),并求⊙M的圆心M的坐标;
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如图,在直角坐标系中,点C(,0),点D(0,1),CD的中垂线交CD于点E,交y轴于点B,点P从点C出发沿CO方向以每秒个单位的速度运动,同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动,当点Q到达点D时,点P,Q同时停止运动,设运动的时间为秒。

(1)求出点B的坐标。
(2)当为何值时,△POQ与△COD相似?
(3)当点P在x轴负半轴上时,记四边形PBEQ的面积为S,求S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(4)在点P、Q的运动过程中,将△POQ绕点O旋转1800,点P的对应点P′,点Q的对应点Q′,当线段P′Q′与线段BE有公共点时,抛物线经过P′Q′的中点,此时的抛物线与x轴正半轴交于点M。由已知,直接写出:
的取值范围为                
②点M移动的平均速度是               
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图中各图是在同一直角坐标系内,二次函数与一次函数的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是
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如图所示,已知抛物线的顶点为坐标原点O,矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上,且AD平行x轴,交y轴于点F,AB的中点E在x轴上,B点的坐标为(2,1),点P(a,b)在抛物线上运动.(点P异于点O).

(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R;
①求证:PF=PR
②是否存在点P,使得△PFR为等边三角形;若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
③延长PF交抛物线于另一点Q,过Q作BC所在直线的垂线,垂足为点S,试判断△RSF的形状.
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如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0),对称轴为x=1;现有:①a>0,②c<0,③当x>1时,y随x的增大而减小,④x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,则上述结论中正确的是   
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