已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点C,M为抛物线的顶点,连接MB.(1)求该抛物线的解析式;(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形

已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点C,M为抛物线的顶点,连接MB.(1)求该抛物线的解析式;(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形

题型:不详难度:来源:
已知抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),交轴于点CM为抛物线的顶点,连接MB

(1)求该抛物线的解析式;
(2)在轴上是否存在点P满足△PBM是直角三角形,若存在,请求出P点的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)设Q点的坐标为(8,0),将该抛物线绕点Q旋转180°后,点M的对应点为,求的度数.
答案
(1) (2)P点的坐标为(0,1),(0,3),
(3)=135°
解析

试题分析:(1)∵因为抛物线经过点A(-1,0),B(3,0)

解得

(2)设点P的坐标为(0,y),

① 若∠MPB=90°,过点M作ME ⊥x轴,MF ⊥y轴,
易证R t △PFM ∽ R t △BOP,可得:
解得,∴点P的坐标为(0,1),(0,3)

② 若∠PMB=90°,同理,R t △PFM ∽ R t △BEM,
 解得: ∴点P的坐标为
③ 若∠MBP=90°,同理, R t △POB ∽ R t △BEM
,解得: ,∴点P的坐标为
综上:△PBM是直角三角形时,P点的坐标为(0,1),(0,3),
(3)
由题意可知:B(3,0),M(1,4),Q(8,0),点M,M′关于点Q中心对称,
∴M′ (15,-4),
连结M′B,并延长M′B交y轴于点D,
,可得D(0,1)
连结MD,易证R t △DFM≌R t △DOB
∴△DBM是等腰直角三角形,∠DBM=45°
=135°
解法二:
过点M′作MB的垂线交MB的延长线于点D,
由△MBM′面积计算,转化为已知△面积和底边MB求高D M′,解得
再由 ,  M’D⊥MD, ∴△DBM′是等腰Rt△,
∴    
∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°
=135°
点评:该题较为复杂,是常考题,主要考查学生对求二次函数解析式以及对图形中点与线段在直角坐标系中表示的方法的应用。
举一反三
已知抛物线的顶点(-1,-4)且过点(0,-3),直线l是它的对称轴。

(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线交x轴于点A、B(A在B的左边),交y轴于点C,P为l上的一动点,当△PBC的周长最小时,求P点的坐标。
(3)在直线l上是否存在点M,使△MBC是等腰三角形,若存在,直接写出符合条件的点M的坐标;若不存在请说明理由。
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若二次函数配方后为,则的值分别为(   )
A.0,6B.0,2C.4,6D.4,2

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已知二次函数yax2bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是
A.ac>0            B.当x>1时,yx的增大而增大
C.2ab=1          D.方程ax2bx+c=0有一个根是x=3

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函数图象y=ax2+(a-3)x+1与x轴只有一个交点则a的值为     
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如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2bx+c经过点A(0,1)、B(3,)两点,BC⊥x轴,垂足为C.点P是线段AB上的一动点(不与A,B重合),过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.

(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)连结AM、BM,设△AMB的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)连结PC,当t为何值时,四边形PMBC是菱形.(10分)
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