试题分析: 解:(1)∵抛物线经过A(2,0), ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为. 将抛物线配方,得, ∴顶点P的坐标为(4,-2). 令y=0,得,解得. ∴点B的坐标是(6,0). (2)在直线 y=x上存在点D,使四边形OPBD为平行四边形. 理由如下:设直线PB的解析式为+b,把B(6,0),P(4,-2)分别代入,得 解得 ∴直线PB的解析式为. 又∵直线OD的解析式为,∴直线PB∥OD. 解法一:设直线OP的解析式为,把P(4,-2)代入,得,解得. 如果OP∥BD,那么四边形OPBD为平行四边形. 设直线BD的解析式为,将B(6,0)代入,得0=, ∴ ∴直线BD的解析式为,解方程组得 ∴D点的坐标为(2,2) 解法二:过点P作x轴的垂线,垂足为点C,则PC=2,AC=2, 由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又∵AB=4,∴△APB是等边三角形∠PBA=∠DOB=60°, 设点D的坐标为(,),得=, ∴D点的坐标为(2,2) (3)符合条件的点M存在. 验证如下:过点P作x轴的垂线,垂足为点C,则PC=2,AC=2, 由勾股定理,可得AP=4,PB=4, 又∵AB=4,∴△APB是等边三角形,作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP, ∴△AMP≌△AMB. 因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.
点评:本题难度较大,主要考查学生对一次函数和抛物线综合运用解决几何问题的能力,为中考常考题型,注意培养数形结合思想分析能力,并运用到考试中去。 |