如图，在直角坐标系x O y中，二次函数的图像与x轴、y轴的公共点分别为A（5，0）、B，点C在这个二次函数的图像上，且横坐标为3．（1）求这个二次函数的解析式

题型：不详难度：来源：

如图，在直角坐标系x O y中，二次函数的图像与x轴、y轴的公共点分别为A（5，0）、B，点C在这个二次函数的图像上，且横坐标为3．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图像上，且∠DAC = 45°，求点D的坐标．

答案

（1）（2）（3）

解析

试题分析：解：（1）∵ 二次函数的图像经过点A（5，0），
∴ ．
解得 ．
∴ 二次函数的解析式是
（2）当 x = 0时，得 y = 5．∴ B（0，5）．
当 x = 3时，得 ，∴ C（3，6）．
联结BC．
∵ ，
，
，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
（3）设D（m，n）．
过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．则 ，DE = n．
∵ A（5，0），B（0，5），∴ OA = OB．
又∵ ，∴ ，
即得 ∠DAE +∠BAD = 45º．
又∵ ∠DAC = 45º，即 ∠BAD +∠BAC = 45º，
∴ ∠DAE =∠BAC．
又∵ ∠DEA =∠ACB = 90º，
∴ △DAE∽△BAC．
∴ ．
∴ ．即得 ．
∵ 点D在二次函数的图像上，
∴ ．
解得 ，m₂ = 5（不合题意，舍去）．
∴ ．
∴ ．
点评：该题是常考题，将二次函数的图像和二次函数值联系在一起，考查学生对二次函数的系数和三角函数值的求解方法，要求学生必须掌握。