如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;                    

如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;                    

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式;                                 
(2)M为第一象限内抛物线上一动点,点M在何处时,△ACM的面积最大;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P,使得△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有可能点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)y=-x2+2x+8;(2)(2,8);(3)(1,4+)或(1,4-
解析

试题分析:(1)由抛物线股过点A(4,0),B(-2,0)根据待定系数法求解即可;
(2)设M坐标为(a,-a 2+2a+8),先求得点C的坐标,再求得直线AC的解析式,过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8),根据△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可;
(3)分①当∠ACP=90°时,②当∠CAP=90°时,③当∠APC=90°时,这三种情况分析即可.
(1)∵y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A(4,0),B(-2,0),
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+8;
(2)设M坐标为(a,-a 2+2a+8),其中a>0.
∵抛物线与y轴交于点C,
∴C(0,8).
∵A(4,0),C(0,8).
∴直线AC的解析式为y=-2x+8.
过点M作x轴的垂线,交AC于N,则N的坐标为(a,-2a+8).
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积=-a 2+4a=-(a-2)2+4
当a=2,即M坐标为(2,8)时,△ACM的面积最大,最大面积为4;
(3)①当∠ACP=90°时,点P的坐标为(1,9.5);
②当∠CAP=90°时,点P的坐标为(1,-1.5); 
③当∠APC=90°时,点P的坐标为(1,4+)或(1,4-).
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
如图,抛物线与x轴相交于BC两点,与y轴相交于点AP(2a,-4a2+7a+2)(a是实数)在抛物线上,直线y=k x +b经过AB两点.

(1)求直线AB的解析式;
(2)平行于y轴的直线x=2交直线AB于点D,交抛物线于点E
①直线x=t(0≤t≤4)与直线AB相交F,与抛物线相交于点G.若FGDE=3∶4,求t的值;
②将抛物线向上平移m(m>0)个单位,当EO平分∠AED时,求m的值.
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已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,则m的值是        
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如图,某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成,最大高度为6米,底部宽度为12米. 现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.

(1) 直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2) 求出这条抛物线的函数解析式;
(3) 若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
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矩形OABC在平 面直角坐标系中的位置如图所示,A、C两点的坐标分别为A(6,0),C(0,-3),直线y=-x与BC边相交于D点.

(1)若抛物线y=ax-x经过点A,试确定此抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线的对称轴上取一点E,求出EA+ED的最小值;
(3)设(1)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点P为对称轴上一动点,以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似,求符合条件的点P的坐标.
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如图1,已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB =" 2OA" = 4.

(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设P是(1)中抛物线上的一个动点,以P为圆心,R为半径作⊙P,求当⊙P与抛物线的对称轴lx轴均相切时点P的坐标.
(3)动点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,动点F从点B出发,以每秒个单位长度的速度向终点C运动,过点E作EG//y轴,交AC于点G(如图2).若E、F两点同时出发,运动时间为t.则当t为何值时,△EFG的面积是△ABC的面积的
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