如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作轴的垂线、过点A作轴的垂线，两直线相交于点D．

（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上；
（3）是否存在，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由；
（4）连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．

答案

（1）；（2）1；（3）；（4）     

解析

试题分析：（1）首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用△AOC∽△BOA求得线段BE、AE的长，从而求得点B的坐标；
（2）由△AOP∽△PEB根据相似三角形的性质可得PE=2，即得点D的坐标为（，4），再代入二次函数关系式求解即可；
（3）分0＜t＜8时和t＞8两种情况，利用△AOC∽△BEA根据相似三角形的性质求解即可；
（4）先求得AC的解析式，设BP的中点为N，由，可得，AP=，过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H，可设，可得，即，由△AFH∽△ACO可得，由AF=4-m可得，由可得，即可求得结果.
（1）由题意得，解得；
（2）△AOP∽△PEB且相似比为，PE=2，求得点D的坐标为（，4）
∴       
解得 
∵ 
；
（3）①当时，如图（1）

若△POA∽△ADB
，即   
∴无解
若△POA∽△BDA，同理，解得；
②当时，如图（2）
若△POA∽△ADB
，即
解得，取
若△POA∽△BDA，同理，解得无解
∴；
（4）∵A（0，4），C（8，0）
∴AC的解析式为
设BP的中点为N，由，可得，AP=
过点N作FN//AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H

可设，可得，即
由△AFH∽△ACO可得，由AF=4-m可得
由可得，
∴
整理得31t²－336t＋704＝0，解得
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对二次函数的性质的熟练掌握情况.