如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点。（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数

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如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点。
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；
（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使的面积与的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设正比例函数的解析式为，
因为的图象过点，所以，解得．
这个正比例函数的解析式为．
设反比例函数的解析式为．
因为的图象过点，所以，解得．
这个反比例函数的解析式为．
（2）因为点在的图象上，所以，则点．
设一次函数解析式为．
因为的图象是由平移得到的，所以，即．
又因为的图象过点，所以，解得，
一次函数的解析式为．
（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．
设二次函数的解析式为．
因为的图象过点、、和，
所以        解得
这个二次函数的解析式为．
（4）交轴于点，点的坐标是，．
假设存在点，使．∴
在二次函数的图象上，
∴或或
点的坐标为．

解析

（1）由点A的坐标根据待定系数法即可求得两个函数的解析式；
（2）先根据反比例函数解析式求得点B的坐标，再由平移的特征设出一次函数解析式，最后把点B的坐标代入即可；
（3）先求出点D的坐标，由A、B、D三点坐标根据待定系数法即得二次函数解析式；
（4）先求出点C的坐标，从而得到的面积S，再根据求得点E的纵坐标，最后根据二次函数解析式求得点E的横坐标即可。